Вывести первые n чисел фибоначчи питон

Числа Фибоначчи

Ряд чисел Фибоначчи представляет собой последовательность. Первый и второй элементы последовательности равны единице. Каждый последующий элемент равен сумме двух предыдущих. Рассмотрим разные способы нахождения элементов по номеру и генерацию списка с помощью Python 3.

Введение

Расчет ряда чисел Фибонначчи – один из лучших примеров программ на Python, использующих рекурсию. Хотя наиболее частый пример, рекурсии – это расчет факториала.

Рассмотрим варианты получения ряда Фибоначчи на Python 3:

• С помощью рекурсии.
• Используя оператор цикла.

Также сгенерируем список чисел и создадим генератор с помощью которого можно поочередно получать числа.

Будем искать с помощью цикла for. В переменных prew и cur будут предыдущий элемент последовательности и текущий, их проинициализируем в 1. Если пользователь запросит первый или второй элемент, то мы так и не попадём внутрь тела цикла. И будет выведена единица из переменной cur .

Если же запросят 3-ий или какой либо последующий элемент последовательности Фибоначчи, то мы зайдем в цикл. Во временную переменную tmp сохраним следующее число последовательности. После этого заполним prew и cur новыми значениям. Когда пройдет нужное количество итераций, выведем значение cur в консоль.

В предыдущем коде нам пришлось воспользоваться переменной tmp . Но можно код внутри цикла переписать следующим образом:

Теперь вместо трех строк кода получилась одна строка! И пропала необходимость использования дополнительной переменной.

В этом примере мы использовали цикл for , но можно эту программу реализовать, немного изменив код, с помощью цикла while .

Рекурсия

В случае с рекурсией напишем функцию, аргументом которой будет требуемое число ряда Фибоначчи. Текущему значению последовательности cur вначале присвоим 1. После этого воспользуемся условным оператором языка Python – if . В нем проверим аргумент функции. Если он больше 2, то функция вызовет саму себя и вычислит предыдущее значение ряда, а так же то, которое было еще раньше и запишет в переменную cur их сумму.

Конечно, пример с рекурсией интересен. Но он будет работать гораздо медленнее.

А если вы решите вычислить, допустим 1000-ый элемент последовательности. Используя цикл, мы его очень быстро рассчитаем. А вот в случае с рекурсией получим ошибку превышения максимального количества рекурсий:

Генератор списка

Если мы захотим инициализировать список рядом Фибоначчи, то это можно сделать следующим образом:

Здесь fibonacci(10) это генератор объекта ряда размерностью 10. При каждом последующем вызове он будет с помощью yield возвращать очередной элемент. Мы создаём из него список. Затем выводим список в консоль с помощью функции print .

Если нам надо будет поочередно получать числа ряда, а не держать в памяти сразу весь список, то можно поступить следующим образом:

Здесь мы создали с помощью Python 3 генератор чисел Фибоначчи. При помощи функции next мы получаем поочередно числа ряда.

Источник

Числа Фибоначчи в языке программирования Python: как произвести расчет

Бывают такие случаи, когда необходимо генерировать или вычислять числа Фибоначчи при помощи Python. Числа Фибоначчи — это рядность целых последовательных чисел. Числовой ряд строится по следующему принципу: каждое число является суммой предыдущих двух чисел.

Последовательность числ ового ряда Фибоначчи выглядит так: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и так далее до бесконечности. Числа Фибоначчи известны не только своей грациозной последовательностью и красивыми графиками, но и одной особенностью: при делении двух соседних чисе л ( большее на меньшее) получается примерно одинаковый результат — 1,618. Такая пропорция названа «золотым сечением». Чуть позже люди стали замечать, что «золотое сечение» прослеживается везде в нашем окружении :

пропорциональный рост граней снежинок;

расположение лепестков в цветах и листьев в папоротнике;

рост « чешуек » ананаса;

раковины улиток завиты по этому сечению;

пропорции человеческого тела, например , рост разделить на расстояние от ступней и до пояса;

Кстати, уче н ые выяснили, что люди, чья внешность кажется наиболее приятной , несут больше соотношений «золотого сечения» в своем строении.

Цикл «while» в Python и числа Фибоначчи

Наиболее популярным методом вычисления числа Фибоначчи является использование цикла. Представим, что вам нужно вычислить число Фибоначчи с индексом «n». Что мы имеем:

fnum1 и fnum2 нам известны, значения первых двух чисел Фибоначчи равны 1;

количество проходов по циклу будет на 2 пункта меньше, потому что первые два числа нам известны, то есть «n-2»;

в цикле должны выполняться следующие действия: fnum1+fnum2, а полученную сумму необходимо будет сохранять в переменную, допустим , в fibSum;

после суммирования переменной fnum1 присваивается значение предыдущего fnum2, а fnum2 присваивает значение fnumSum, освобождая переменную для следующего суммирования;

цикл повторяется «n-2» количеств о раз;

после окончания прохождения цикла на экран необходимо вывести значение последней переменной fnum2.

Как это реализуется:

n = input (“ Введите номер числа Фибоначчи: “)

fnumSum = fnum1 + fnum2

print(“Число Фибоначчи под вашим номером: “, fnum2)

Результат программы будет следующим:

Введите номер числа Фибоначчи: 13

Число Фибоначчи под вашим номером: 233

Цикл «for» в Python и числа Фибоначчи

Цикл «for» в Python позволяет вывести не только конкретное число Фибоначчи, но и все предшествующие числа, то есть целый ряд чисел. Чтобы у нас это получилось , мы вывод значения «fsum2» поместим в цикл.

Как это реализуется:

fnum1 = fnum2 = 1

n = intput (“Введите номер числа Фибоначчи: “)

print (fnum1, fnum2, end= )

for i in range(2, n):

fnum1, fnum2 = fnum2, fnum1 + fnum2

print(“Ряд чисел Фибоначчи до указанного номера: “, fnum2, end= )

Программа нам выдаст следующий результат:

Введите номер числа Фибоначчи: 13

Ряд чисел Фибоначчи до указанного номера: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233

Заключение

Числа Фибоначчи можно просчитать при помощи циклов «for» или «while». Иногда для генерации чисел используют рекурсию, однако она имеет ряд ограничений и работает медленнее, чем представленные функции.

Мы будем очень благодарны

если под понравившемся материалом Вы нажмёте одну из кнопок социальных сетей и поделитесь с друзьями.

Источник

Числа Фибоначчи: циклом и рекурсией

Числа Фибоначчи – это ряд чисел, в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих.

Иногда ряд начинают с нуля.

В данном случае мы будем придерживаться первого варианта.

Вычисление n-го числа ряда Фибоначчи с помощью цикла while

Присвоим переменным fib1 и fib2 значения двух первых элементов ряда, то есть единицы.

Получим от пользователя номер элемента, значение которого требуется вычислить. Присвоим номер элемента переменной n .

Поскольку значения первых двух элементов ряда Фибоначчи нам уже известны и вычисления начинаем с третьего, количество проходов по телу цикла должно быть на 2 меньше значения n , то есть n — 2 .

Если пользователь вводит 1 или 2, тело цикла ни разу не выполняется, на экран выводится исходное значение fib2 .

В теле цикла выполнять следующие действия:

1. Сложить fib1 и fib2 , присвоив результат переменной для временного хранения данных, например, fib_sum .
2. Переменной fib1 присвоить значение fib2 .
3. Переменной fib2 присвоить значение fib_sum .

После окончания работы цикла вывести значение fib2 на экран.

Пример выполнения программы:

Компактный вариант кода:

Вывод чисел Фибоначчи циклом for

В данном случае выводится не только значение искомого элемента ряда Фибоначчи, но и все числа до него включительно. Для этого вывод значения fib2 помещен в цикл.

Рекурсивное вычисление n-го числа ряда Фибоначчи

1. Если n = 1 или n = 2, вернуть в вызывающую ветку единицу, так как первый и второй элементы ряда Фибоначчи равны единице.
2. Во всех остальных случаях вызвать эту же функцию с аргументами n — 1 и n — 2. Результат двух вызовов сложить и вернуть в вызывающую ветку программы.

Допустим, n = 4. Тогда произойдет рекурсивный вызов fibonacci(3) и fibonacci(2). Второй вернет единицу, а первый приведет к еще двум вызовам функции: fibonacci(2) и fibonacci(1). Оба вызова вернут единицу, в сумме будет два. Таким образом, вызов fibonacci(3) возвращает число 2, которое суммируется с числом 1 от вызова fibonacci(2). Результат 3 возвращается в основную ветку программы. Четвертый элемент ряда Фибоначчи равен трем: 1 1 2 3.

Источник

Python алгоритмы

Блог про алгоритмы и все что с ними связано. Основной инструмент реализации — Python.

Дай 10 !)

понедельник, 4 апреля 2011 г.

Числа Фибоначчи

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,… в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи).
Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается линейным рекуррентным соотношением:

*-Нравится статья? Кликни по рекламе! 🙂

Алгоритмы вычисления чисел Фибоначчи

Рекурсивный алгоритм
Используя рекуррентное соотношение, можно построить рекурсивный алгоритм вычисления чисел Фибоначчи:
Псевдокод. Числа Фибоначчи(рекурсивная функция)
Наибольший интерес в этом алгоритме представляет строчка 4:
Интерес заключается в том, что дополнительный исполнитель действует по алгоритму — если его аргумент больше 1, он также вызывает очередного исполнителя для вычисления нужных ему значений. Получается серия вызовов, которые выстраиваются в дерево рекурсивных вызовов.

Древовидно-рекурсивный процесс.

При вычислении значения F(5) будут вызваны процедуры вычисления F(4) и F(3) . В свою очередь, для вычисления последних потребуется вычисление двух пар F(3) , F(2) и F(2) , F(1) .
Можно заметить, что F(2) вычисляется три раза. Если рассмотреть вычисление F(n) при больших n , то повторных вычислений будет очень много. Это и есть основной недостаток рекурсии — повторные вычисления одних и тех же значений. Кроме того, с рекурсивными функциями связана одна серьезная ошибка: дерево рекурсивных вызовов может оказаться бесконечным и компьютер «зависнет». Важно, чтобы процесс сведения задачи к более простым когда-нибудь заканчивался. Для того, чтобы рекурсивный алгоритм заканчивал свою работу, необходимо, чтобы дерево рекурсивных вызовов при любых входных данных обрывалось и было конечным, т.е. должно существовать некое терминальное условие. В данном примере дерево рекурсивных вызовов обрывается на F₁ и F₂ , для вычисления которых не используются рекурсивные вызовы.

Довольно часто «зависание» компьютеров связано с использованием плохо реализизованных рекурсивных идей. Например, попробуйте подставить отрицательный аргумент n .
Пользоваться рекурсивными алгоритмами нужно осторожно, так как они могут быть очень неэффективными с точки зрения времени работы. Попробуем оценить количество операций, необходимых для того, чтобы вычислить n -й член последовательности Фибоначчи (здесь под операцией мы понимаем строчку в программе). Обозначим это число как T(n) .

Нетрудно показать, что после того, как мы проделаем эту трансформацию n раз, a и b будут соответственно равны Fib(n + 1) и Fib(n). Таким образом, мы можем итеративно вычислять числа Фибоначчи при помощи процедуры
Второй метод вычисления чисел Фибоначчи представляет собой линейную итерацию. Разница в числе шагов, требуемых двумя этими методами — один пропорционален n, другой растет так же быстро, как и само Fib(n), — огромна, даже для небольших значений аргумента.

Не нужно из этого делать вывод, что древовидно-рекурсивные процессы бесполезны. Когда мы будем рассматривать процессы, работающие не с числами, а с иерархически структурированными данными, мы увидим, что древовидная рекурсия является естественным и мощным инструментом. Но даже при работе с числами древовиднорекурсивные процессы могут быть полезны — они помогают нам понимать и проектировать программы. Например, чтобы сформулировать итеративный алгоритм, нам пришлось заметить, что вычисление можно перестроить в виде итерации с тремя переменными состояния.

Рекурсия с запоминанием (динамическим программированием сверху)

Есть способ решить проблему повторных вычислений. Он очевиден — нужно запоминать найденные значения, чтобы не вычислять их каждый раз заново. Конечно, для этого придётся активно использовать память. Например, рекурсивный алгоритм вычисления чисел Фибоначчи легко дополнить тремя «строчками»:

1. создать глобальный массив FD , состоящий из нулей;
2. после вычисления числа Фибоначчи F(n) поместить его значение в FD[n] ;
3. в начале рекурсивной процедуры сделать проверку на то, что FD[n] = 0 и, если , то вернуть FD[n] в качестве результата, а иначе приступить к рекурсивному вычислению F(n) .

Человеческий алгоритм
Рекурсию с запоминанием для вычисления чисел Фибоначчи мы привели просто для демонстрации идеи. Для чисел Фибоначчи есть простой «человеческий алгоритм», не использующий рекурсивные вызовы и запоминание всех вычисленных значений. Достаточно помнить два последних числа Фибоначчи, чтобы вычислить следующее. Затем предпредыдущее можно «забыть» и перейти к вычислению следующего:

1. a = b = 1 ;
2. если n > 2 , то сделать n − 2 раз: c = a + b ; a = b ; b = c ;
3. вернуть ответ b ;

Простой «человеческий» алгоритм вычисления чисел Фибоначчи работает существенно быстрее. Алгоритм 2 для вычисления F_n выполнит n − 2 итераций цикла While . Видно, что время работы алгоритма растёт линейно с n (увеличение n в k раз приведёт к тому, что время работы алгоритма тоже увеличится примерно в k раз).

Алгоритм 2. Числа Фибоначчи: нерекурсивный алгоритм
От экспоненциального роста времени вычисления рекурсивных алгоритмов легко избавится с помощью запоминания вычисленных значений. А именно, в памяти хранят вычисленные значения, а в начале функции помещается проверка на то, что требуемое значение уже вычислено и хранится в памяти. Если это так, то это значение возвращается как результат, а вычисления и рекурсивные вызовы осуществляются лишь в том случае, когда функция с такими аргументами ещё ни разу не вызывалась.

Ну и напоследок — тестирование fib(30) вызывалось 1000 раз.

• Рекурсивный алгоритм 1802004 function calls (5004 primitive calls) in 15.061 CPU seconds
• Итеративный 902004 function calls (2004 primitive calls) in 7.436 CPU seconds
• Человеческий метод 1004 function calls in 0.272 CPU seconds
  

Как мы видим, в данном случае рекурсивный алгоритм оказался существенно менее эффективным (дольше работающим при больших n ), нежели нерекурсивный алгоритм. Но это не значит, что использовать рекурсию не надо. Рекурсия очень важный и удобный инструмент программирования. С помощью рекурсии успешно реализуют важный подход к решению задач: разделяй и властвуй. Лучший способ решить сложную задачу — это разделить её на несколько простых и «разделаться» с ними по отдельности. По сути, это один из важных инструментов мышления при решении задач.

Источник