Числа Фибоначчи – это ряд чисел, в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих.
Иногда ряд начинают с нуля.
В данном случае мы будем придерживаться первого варианта.
Вычисление n-го числа ряда Фибоначчи с помощью цикла while
Присвоим переменным fib1 и fib2 значения двух первых элементов ряда, то есть единицы.
Получим от пользователя номер элемента, значение которого требуется вычислить. Присвоим номер элемента переменной n .
Поскольку значения первых двух элементов ряда Фибоначчи нам уже известны и вычисления начинаем с третьего, количество проходов по телу цикла должно быть на 2 меньше значения n , то есть n — 2 .
Если пользователь вводит 1 или 2, тело цикла ни разу не выполняется, на экран выводится исходное значение fib2 .
В теле цикла выполнять следующие действия:
Сложить fib1 и fib2 , присвоив результат переменной для временного хранения данных, например, fib_sum .
Переменной fib1 присвоить значение fib2 .
Переменной fib2 присвоить значение fib_sum .
После окончания работы цикла вывести значение fib2 на экран.
Пример выполнения программы:
Компактный вариант кода:
Вывод чисел Фибоначчи циклом for
В данном случае выводится не только значение искомого элемента ряда Фибоначчи, но и все числа до него включительно. Для этого вывод значения fib2 помещен в цикл.
Рекурсивное вычисление n-го числа ряда Фибоначчи
Если n = 1 или n = 2, вернуть в вызывающую ветку единицу, так как первый и второй элементы ряда Фибоначчи равны единице.
Во всех остальных случаях вызвать эту же функцию с аргументами n — 1 и n — 2. Результат двух вызовов сложить и вернуть в вызывающую ветку программы.
Допустим, n = 4. Тогда произойдет рекурсивный вызов fibonacci(3) и fibonacci(2). Второй вернет единицу, а первый приведет к еще двум вызовам функции: fibonacci(2) и fibonacci(1). Оба вызова вернут единицу, в сумме будет два. Таким образом, вызов fibonacci(3) возвращает число 2, которое суммируется с числом 1 от вызова fibonacci(2). Результат 3 возвращается в основную ветку программы. Четвертый элемент ряда Фибоначчи равен трем: 1 1 2 3.
Источник
Вывести первые n чисел фибоначчи блок схема
1. Вывести на экран n первых чисел ряда Фибоначчи.
Решение: первый алгоритм поиска чисел Фибоначчи. Ответ: n=6 1 1 2 3 5 8
program fib_01; uses crt; var i, ch, ch1, ch2, n :integer;
n — количество чисел Фибоначчи; ch — число Фибоначчи; ch1, ch2 — вспомогательные переменные алгоритма поиска чисел Фибоначчи>
begin clrscr; write(‘n=’); readln(n);
ch:=0; <алгоритм поиска чисел Фибоначчи> ch1:=1; for i:=1 to n do
begin ch2:=ch1; ch1:=ch; ch:=ch1+ch2; write (ch:5) <надо вывести на экран все числа Фибоначчи,, поэтому оператор вывода находится внутри цикла> end;
end.
2. Вывести на экран n-ый элемент ряда Фибоначчи.
Решение: первый алгоритм поиска чисел Фибоначчи. Ответ: n=10 ch=55
program fib_02; uses crt; var ch, ch1, n, i, ch2: integer;
n — количество чисел Фибоначчи; ch — число Фибоначчи; ch1, ch2 — вспомогательные переменные алгоритма поиска чисел Фибоначчи>
3. Вывести на экран n1-ый и n2-ой элементы ряда Фибоначчи и их сумму
Решение: первый алгоритм поиска чисел Фибоначчи.
Ответ: n1=5 n2=10 5 55 S=60
или
Ответ: n1=10 n2=5 5 55 S=60
Program fib_03; Uses CRT; var n1, n2, ch, ch1,ch2, i, max, s:integer;
n1, n2 — номера чисел Фибоначчи; ch — число Фибоначчи; ch1, ch2 — вспомогательные переменные алгоритма поиска чисел Фибоначчи; max — наибольший номер числа Фибоначчи; S — сумма чисел>
begin clrscr; s:=0; write(‘n1=’); readln(n1); write(‘n2=’); readln(n2);
if n2 > n1 then max:=n2 else max:=n1;
for i:=1 to max do
begin ch2:=ch1; ch1:=ch; ch:=ch1+ch2; if (i=n1) or (i=n2) then <если число является n1-ым или n2-ым элементом ряда, то прибавляем его к сумме>
begin write(ch:5); s:=s+ch; end;
end;
writeln; write(‘S=’:5,s); end.
program fib_04; uses crt; var ch, ch1, n, i, ch2: integer;
ch — число Фибоначчи; ch1, ch2 — вспомогательные переменные алгоритма поиска чисел Фибоначчи>
program fib_05; uses crt; var ch, ch1, n, i, ch2: integer;
ch — число Фибоначчи; ch1, ch2 — вспомогательные переменные алгоритма поиска чисел Фибоначчи>
6. 10 случайных чисел генерируются компьютером в интервале [5,10]. Вывести на экран числа ряда Фибоначчи. Найти их среднее арифметическое.
Решение: первый алгоритм поиска чисел Фибоначчи (рациональнее было бы применить второй алгоритм поиска чисел Фибоначчи. )
Ответ может быть: Количество чисел Фибоначчи равно 0.
ch=8 ch=8 ch=8 Sred=8.
<проверка деления на 0:> if kch 0 then begin Sred:=s/kch ; write (‘Sred=’:5, sred) end else writeln(‘Количество чисел Фибоначчи равно 0.’); end.
7. Число x вводится с клавиатуры. Проверить, является оно числом ряда Фибоначчи. Программа с тестированием.
Решение: второй алгоритм поиска чисел Фибоначчи.
Ответ: x=5 1. ch1=1 ch2=0 ch=1 2. ch1=0 ch2=1 ch=1 3. ch1=1 ch2=1 ch=2 4. ch1=1 ch2=2 ch=3 5. ch1=2 ch2=3 ch=5 Цикл закончен x — число Фибоначчи
x=6 1. ch1=1 ch2=0 ch=1 2. ch1=0 ch2=1 ch=1 3. ch1=1 ch2=1 ch=2 4. ch1=1 ch2=2 ch=3 5. ch1=2 ch2=3 ch=5 6. ch1=3 ch2=5 ch=8 Цикл закончен x — не число Фибоначчи
program fib_07; uses crt; var i, ch, ch1, ch2, x, n:integer;
i — порядковый номер цикла; ch — число Фибоначчи; ch1, ch2 — вспомогательные переменные алгоритма поиска чисел Фибоначчи>
ch1:=ch2; ch2:=ch-1; ch:=ch1+ch2; write(‘ch1=’:10,ch1,’ch2=’:10,ch2,’ch=’:10,ch); inc(i); <порядковый номер цикла> inc(ch); writeln;
until (x <здесь x=ch-1, т.к. последнее действие в цикле - увеличение числа на 1> end.
8. Найти количество чисел Фибоначчи в интервале [2, 6]. Программа с тестированием.
Решение: второй алгоритм поиска чисел Фибоначчи.
Ответ: x=2 число Фибоначчи= 2 k=1
x=3 число Фибоначчи= 3 k=2
x=4 x — не число Фибоначчи
x=5 число Фибоначчи= 5 k=3
x=6 x — не число Фибоначчи
program fib_08; uses crt; var ch, ch1, ch2, x, n, k: integer;
k — количество чисел Фибоначчи; ch — число Фибоначчи; ch1, ch2 — вспомогательные переменные алгоритма поиска чисел Фибоначчи>
9. Найти количество чисел Фибоначчи в интервале [a, b].
Решение: второй алгоритм поиска чисел Фибоначчи.
Ответ: первое число в заданном интервале=10 последнее число в заданном интервале=1000 число Фибоначчи= 13 число Фибоначчи= 21 число Фибоначчи= 34 число Фибоначчи= 55 число Фибоначчи= 89 число Фибоначчи= 144 число Фибоначчи= 233 число Фибоначчи= 377 число Фибоначчи= 610 число Фибоначчи= 987 k=10
program fib_09; uses crt; var ch, ch1, ch2, a, b, x, k :integer;
Источник
Числа Фибоначчи.
Математика в программировании является основой основ, фундаментом. Без математики не было не то что, тех вещей, что нас окружают нас, но и программ которые мы с вами пишем, именно здесь и заложены задатки математики. Сегодня мы поговорим о числа Фибоначчи. Как мы знаем из истории настоящим именем Фибоначчи было Леонардо Пизано. Итальянец который жил между 1170 и 1250 годами. Им было написано несколько научных трактов, благодаря которым и посей день, пользуются люди различных профессий, банкиры, бухгалтера итд. О числах Фибоначчи множество споров, но в большей степени они относятся к философской тематике, нас же с вами интересует математика в программировании.
Числа Фибоначчи представляет собой список чисел, где каждое число является суммой двух предыдущих. Последовательность Фибоначчи начинается с 1 и растет бесконечно:
Для вычисления чисел Фибоначчи существует формула:
Fi= Fi-1+ Fi-2
Блок схема чисел Фибоначчи.
Существует такое понятие как золотая пропорция или как вы могли слышать золотое сечение. В целом это можно представить отрезок который делится на две части, при котором меньшая часть так относиться к большей, как большая ко всей величине. Это отношение обозначают буквой φ = 0, 618 Я не просто так задел эту тему, все дело в том что числа Фибоначчи очень близко переплетаются с золотым сечением, так к примеру если из ряда чисел Фибоначчи взять к примеру отрезок ряда: 144 233 377. А в нем поделить большее на меньшее 377/233=1.6180 или 233/144= 1.6180 Результат будет один и тот же с небольшими отклонениями в числах. Одинаковым результатом так же будет если меньшее из чисел делить на большее 233/377=0.6180 144/233=0.6180 Интересно неправда ли? Золото сечение начало применяться очень давно, и повсеместно, к примеру в архитектура, в написании картин, в литературе и даже в природе оно встречается. Не так давно в компьютерной индустрии начали работать над созданием матриц с помощью чисел Фибоначчи, появилась новая теория кодирования и криптографии. Что точно известно, так это то что значение чисел в жизни человека очень изменило ее до не узнаваемости, от восприятия красоты, до окружающих нас предметов. Для упрощенного подсчета чисел Фибоначчи и Золотого сечения, набросал программку на скорую руку скачать можете ниже. Ничего сложного нет, вводите число жмете вычислить, программа вычисляет диапазон чисел по системе Фибоначчи, и вычисляет по системе золотого сечения два отрезка, которые являются золотым сечением.
Требования: OS Windows XP\Vista\7\8\; OS Mac; OS Linux; Язык интерфейса: русский. Фаил: FibonacciGoldenSection.jar
Скачать калькулятор расчета Золотого сечения и чисел Фибоначчи.
Добавить комментарий Отменить ответ
Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.
Источник
5 способов вычисления чисел Фибоначчи: реализация и сравнение
Введение
Программистам числа Фибоначчи должны уже поднадоесть. Примеры их вычисления используются везде. Всё от того, что эти числа предоставляют простейший пример рекурсии. А ещё они являются хорошим примером динамического программирования. Но надо ли вычислять их так в реальном проекте? Не надо. Ни рекурсия, ни динамическое программирование не являются идеальными вариантами. И не замкнутая формула, использующая числа с плавающей запятой. Сейчас я расскажу, как правильно. Но сначала пройдёмся по всем известным вариантам решения.
Код предназначен для Python 3, хотя должен идти и на Python 2.
Для начала – напомню определение:
Замкнутая формула
Пропустим детали, но желающие могут ознакомиться с выводом формулы. Идея в том, чтобы предположить, что есть некий x, для которого Fn = x n , а затем найти x.
Решаем квадратное уравнение:
Откуда и растёт «золотое сечение» ϕ=(1+√5)/2. Подставив исходные значения и проделав ещё вычисления, мы получаем:
что и используем для вычисления Fn.
Хорошее: Быстро и просто для малых n Плохое: Требуются операции с плавающей запятой. Для больших n потребуется большая точность. Злое: Использование комплексных чисел для вычисления Fn красиво с математической точки зрения, но уродливо — с компьютерной.
Рекурсия
Самое очевидное решение, которое вы уже много раз видели – скорее всего, в качестве примера того, что такое рекурсия. Повторю его ещё раз, для полноты. В Python её можно записать в одну строку:
Хорошее: Очень простая реализация, повторяющая математическое определение Плохое: Экспоненциальное время выполнения. Для больших n очень медленно Злое: Переполнение стека
Запоминание
У решения с рекурсией есть большая проблема: пересекающиеся вычисления. Когда вызывается fib(n), то подсчитываются fib(n-1) и fib(n-2). Но когда считается fib(n-1), она снова независимо подсчитает fib(n-2) – то есть, fib(n-2) подсчитается дважды. Если продолжить рассуждения, будет видно, что fib(n-3) будет подсчитана трижды, и т.д. Слишком много пересечений.
Поэтому надо просто запоминать результаты, чтобы не подсчитывать их снова. Время и память у этого решения расходуются линейным образом. В решении я использую словарь, но можно было бы использовать и простой массив.
(В Python это можно также сделать при помощи декоратора, functools.lru_cache.)
Хорошее: Просто превратить рекурсию в решение с запоминанием. Превращает экспоненциальное время выполнение в линейное, для чего тратит больше памяти. Плохое: Тратит много памяти Злое: Возможно переполнение стека, как и у рекурсии
Динамическое программирование
После решения с запоминанием становится понятно, что нам нужны не все предыдущие результаты, а только два последних. Кроме этого, вместо того, чтобы начинать с fib(n) и идти назад, можно начать с fib(0) и идти вперёд. У следующего кода линейное время выполнение, а использование памяти – фиксированное. На практике скорость решения будет ещё выше, поскольку тут отсутствуют рекурсивные вызовы функций и связанная с этим работа. И код выглядит проще.
Это решение часто приводится в качестве примера динамического программирования.
Хорошее: Быстро работает для малых n, простой код Плохое: Всё ещё линейное время выполнения Злое: Да особо ничего.
Матричная алгебра
И, наконец, наименее освещаемое, но наиболее правильное решение, грамотно использующее как время, так и память. Его также можно расширить на любую гомогенную линейную последовательность. Идея в использовании матриц. Достаточно просто видеть, что
А обобщение этого говорит о том, что
Два значения для x, полученных нами ранее, из которых одно представляло собою золотое сечение, являются собственными значениями матрицы. Поэтому, ещё одним способом вывода замкнутой формулы является использование матричного уравнения и линейной алгебры.
Так чем же полезна такая формулировка? Тем, что возведение в степень можно произвести за логарифмическое время. Это делается через возведения в квадрат. Суть в том, что
где первое выражение используется для чётных A, второе для нечётных. Осталось только организовать перемножения матриц, и всё готово. Получается следующий код. Я организовал рекурсивную реализацию pow, поскольку её проще понять. Итеративную версию смотрите тут.
Хорошее: Фиксированный объём памяти, логарифмическое время Плохое: Код посложнее Злое: Приходится работать с матрицами, хотя они не так уж и плохи
Сравнение быстродействия
Сравнивать стоит только вариант динамического программирования и матрицы. Если сравнивать их по количеству знаков в числе n, то получится, что матричное решение линейно, а решение с динамическим программированием – экспоненциально. Практический пример – вычисление fib(10 ** 6), числа, у которого будет больше двухсот тысяч знаков.
n = 10 ** 6 Вычисляем fib_matrix: у fib(n) всего 208988 цифр, расчёт занял 0.24993 секунд. Вычисляем fib_dynamic: у fib(n) всего 208988 цифр, расчёт занял 11.83377 секунд.
Теоретические замечания
Не напрямую касаясь приведённого выше кода, данное замечание всё-таки имеет определённый интерес. Рассмотрим следующий граф:
Подсчитаем количество путей длины n от A до B. Например, для n = 1 у нас есть один путь, 1. Для n = 2 у нас опять есть один путь, 01. Для n = 3 у нас есть два пути, 001 и 101. Довольно просто можно показать, что количество путей длины n от А до В равно в точности Fn. Записав матрицу смежности для графа, мы получим такую же матрицу, которая была описана выше. Это известный результат из теории графов, что при заданной матрице смежности А, вхождения в А n — это количество путей длины n в графе (одна из задач, упоминавшихся в фильме «Умница Уилл Хантинг»).
Почему на рёбрах стоят такие обозначения? Оказывается, что при рассмотрении бесконечной последовательности символов на бесконечной в обе стороны последовательности путей на графе, вы получите нечто под названием «подсдвиги конечного типа», представляющее собой тип системы символической динамики. Конкретно этот подсдвиг конечного типа известен, как «сдвиг золотого сечения», и задаётся набором «запрещённых слов» <11>. Иными словами, мы получим бесконечные в обе стороны двоичные последовательности и никакие пары из них не будут смежными. Топологическая энтропия этой динамической системы равна золотому сечению ϕ. Интересно, как это число периодически появляется в разных областях математики.
