Вывести формулу для сумм

Использование метода математической индукции для нахождения сумм конечного числа слагаемых

Этот метод можно эффективно использовать для нахождения формул вычисления сумм, когда число слагаемых зависит от n,доказательства тождеств, доказательства неравенств, у которых одна или обе части зависят от n.

Пример 1. Пусть дана последовательность (n)натуральных чисел. Найдем формулу вычисления суммы первых nчисел:

Решение. Рассмотрим S(1), S(2), S(3), S(4). Мы имеем:

Заметив, что полученные числа можно записать в виде

естественно сделать предположение, что

(1)

Применим теперь метод математической индукции для доказа­тельства полученной формулы (1).

При n = 1: S(1) = 1×2/2=1.

Формула верна при n = 1. Предположим, что формула верна при n = k > 1:

Тогда

‘Значит, из справедливости формулы для n = k вытекает ее справедливость для n = k + 1По принципу математической индукции отсюда вытекает справедливость формулы (1) для всех натуральных значений n.

В некоторых случаях для доказательства тождества Р(n) = Q (n)можем сначала убедиться, что Р (1) = Q (1), и, предпола­гая справедливость равенства P(k)=Q(k),k>1,доказать тож­дество P(k + 1) = Q(k + 1). Тогда из истинности равенства P(k) = Q(k) будет следовать истинность равенства P(k + 1) = Q(k + 1)и по принципу математической индукции бу­дет следовать истинность тождества P(n)=Q(n)для всех n.

Пример 2. Рассмотрим последовательность (n 2 ) квадратов натуральных чисел. Докажем справедливость формулы для вы­числения суммы первых nчленов этой последовательности:

(2)

Обозначим l 2 + 2 2 + 3 2 + . + n 2 = S (n)и

При n = 1: S(1) = 1, Т.е. S(1) = P(1).

Предполагаем теперь, что равенство верно для n = k, k > 1, т. е. S(k) = P(k).

Итак, мы доказали, что S(1) = P(1) и S(k+l) — S (k) = = P (k+1) — P (k).Тогда по принципу математической индукции тождество (2) справедливо для всех n.

Ранее доказанные формулы могут служить источником полу­чения новых формул.

Пример 3. Пусть дана последовательность (n 3 )кубов нату­ральных чисел. Выведем формулу для вычисления суммы пер­вых nчленов этой последовательности:

S(n)=l 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 .

Как и в примере 1, рассмотрим суммы S(1), S (2), S (3), S (4). Здесь мы имеем:

S(3)=l 3 + 2 3 + 3 3 = 36,

S (4)= 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 = 100.

Поскольку мы предполагали, что S(k) = P(k),то отсюда сле­дует равенство S (k+ 1) = P (k + 1). Следовательно, по принципу математической индукции формула (3) справедлива для всех n.

Источник

Использование функции СУММ для суммирования чисел в диапазоне

Для суммы чисел в диапазоне (группе ячеек) можно использовать простую формулу, но функцию СУММ проще использовать при работе с несколькими числами. Например, =СУММ(A2:A6) реже имеет ошибки при вводе, чем =A2+A3+A4+A5+A6.

Вот формула, использующая два диапазонаячеев: =СУММ(A2:A4;C2:C3) суммирует числа в диапазонах A2:A4 и C2:C3. Чтобы получить итоговую сумму в 39787, нажмите ввод.

Чтобы создать формулу:

Введите в ячейку =СУММ и открываю скобки (.

Чтобы ввести первый диапазон формул, который называется аргументом (частью данных, которую нужно выполнить), введите A2:A4 (или выберите ячейку A2 и перетащите ее через ячейку A6).

Введите запятую (,), чтобы отделить первый аргумент от следующего.

Введите второй аргумент C2:C3 (или перетащите его, чтобы выбрать ячейки).

Введите закрываюю скобки )и нажмите ввод.

Каждый аргумент может быть диапазоном, числом или ссылками на отдельные ячейки, разделенными запятой.

Совет: Если вам нужно свести столбцы или строки чисел рядом друг с другом, используйте авто сумму чисел.

Попробуйте попрактиковаться

Если вы хотите поиграть с образцом данных, воспользуйтесь некоторыми данными.

Чтобы узнать, как работает функция СУММ, скопируйте таблицу ниже в таблицу и вкопируйте ее в ячейку A1.

Прибавляет 3 и 2.

=СУММ(«5»; 15; ИСТИНА)

Прибавляет 5, 15 и 1. Текстовое значение «5» сначала переводится в число, а логическое значение ИСТИНА — в число 1.

Суммы значений в ячейках A2-A4.

С суммой значений в ячейках A2–A4, а затем к результату прибавляет 15.

Суммы значений в ячейках A5 и A6, а затем 2 к результату. Так как не числовые значения в ссылках не переводятся, значение в ячейке A5 (‘5) и значение в ячейке A6 (ИСТИНА) будут рассматриваться как текст, поэтому значения в этих ячейках игнорируются.

Дополнительные сведения

Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

Источник

Считаем сумму ячеек в Microsoft Excel

Microsoft Excel – мощный программный инструмент для работы с электронными таблицами. В программе можно составлять таблицы и отчеты, производить расчеты любой сложности, строить диаграммы, графики и многое другое. Довольно часто Эксель используют для того, чтобы вычислить итоговую сумму в столбцах и строках таблицы, или, например, чтобы узнать сумму нескольких ячеек. В этом уроке мы с вами научимся считать сумму ячеек в программе Microsoft Excel благодаря пошаговой инструкции.

Автосумма

Данная функция является одной из самых популярных и комфортных для расчета суммы значений в ячейках таблицы. Для этого нужно сделать следующее:

Переходим в вкладку “Главная”, левой кнопкой мыши (далее – ЛКМ) нажимаем на последнюю пустую ячейку столбца или строки, по которой нужно посчитать итоговую сумму и нажимаем кнопку “Автосумма”.

Функция “Сумм”

Данная функция в Microsoft Excel позволяет суммировать значения большого массива данных. Для этого необходимо сделать следующее:

1. ЛКМ выделяем ячейку, в которую планируем вывести итоговый результат, далее нажимаем кнопку «Вставить функцию», которая находится с левой стороны строки формул.
   
2. В открывшемся списке “Построителя формул” находим функцию “СУММ” и нажимаем “Вставить функцию” (или “OK”, в зависимости от версии программы). Чтобы быстро найти нудную функцию можно воспользоваться полем поиском.
   

Работа с формулами

В программе Эксель можно посчитать сумму с помощью простой формулы сложения. Делается это следующим образом:

1. ЛКМ выделяем ячейку, в которой хотим посчитать сумму. Затем, либо в самой ячейке, либо перейдя в строку формул, пишем знак “=”, ЛКМ нажимаем на первую ячейку, которая будет участвовать в расчетах, после нее пишем знак “+”, далее выбираем вторую, третью и все требуемые ячейки, не забывая между ними проставлять знак “+”.
   
2. После того, как формула готова, нажимаем “Enter” и получаем результат в выбранной нами ячейке.
   Основным минусом данного способа является то, что сразу отобрать несколько ячеек невозможно, и необходимо указывать каждую по отдельности.

Просмотр суммы в программе Excel.

Помимо расчета суммы в отдельной ячейке, в программе Microsoft Excel можно просто просматривать сумму значений выбранных ячеек. Но это работает только при условии, что все ячейки располагаются рядом.

1. Выделяем диапазон ячеек, сумму по которым мы хотим посмотреть.
   
2. Смотрим вниз на результат, который отображается в строке состояния программы.
   Помимо общей суммы, мы также видим количество выделенных ячеек и среднее значение по ним.

Как Вы могли заметить, программа Эксель позволяет решать задачу суммирования разными способами. Каждый из них имеет свои достоинства и недостатки, свою сложность и продуктивность в зависимости от поставленной задачи и ее специфики.

Источник

Формула суммы по условию критерия выборки значений в Excel

Простые логические функции такие как ЕСЛИ обычно предназначены для работы с одним столбцом или одной ячейкой. Excel также предлагает несколько других логических функций служащих для агрегирования данных. Например, функция СУММЕСЛИ для выборочного суммирования диапазона значений по условию.

Примеры формулы для суммы диапазонов с условием отбора в Excel

Ниже на рисунке представлен в таблице список счетов вместе с состоянием по каждому счету в виде положительных или отрицательных чисел. Допустим нам необходимо посчитать сумму всех отрицательных чисел для расчета суммарного расхода по движению финансовых средств. Этот результат будет позже сравниваться вместе с сумой положительных чисел с целью верификации и вывода балансового сальдо. Узнаем одинаковые ли суммы доходов и расходов – сойдется ли у нас дебит с кредитом. Для суммирования числовых значений по условию в Excel применяется логическая функция =СУММЕСЛИ():

Функция СУММЕСЛИ анализирует каждое значение ячейки в диапазоне B2:B12 и проверяет соответствует ли оно заданному условию (указанному во втором аргументе функции). Если значение меньше чем 0, тогда условие выполнено и данное число учитывается в общей итоговой сумме. Числовые значения больше или равно нулю игнорируются функцией. Проигнорированы также текстовые значения и пустые ячейки.

В приведенном примере сначала проверяется значения ячейки B2 и так как оно больше чем 0 – будет проигнорировано. Далее проверяется ячейка B3. В ней числовое значение меньше нуля, значит условие выполнено, поэтому оно добавляется к общей сумме. Данный процесс повторяется для каждой ячейки. В результате его выполнения суммированы значения ячеек B3, B6, B7, B8 и B10, а остальные ячейки не учитываются в итоговой сумме.

Обратите внимание что ниже результата суммирования отрицательных чисел находится формула суммирования положительных чисел. Единственное отличие между ними — это обратный оператор сравнения во втором аргументе где указывается условие для суммирования – вместо строки » 0″ (больше чем ноль). Теперь мы можем убедиться в том, что дебет с кредитом сходится балансовое сальдо будет равно нулю если сложить арифметически в ячейке B16 формулой =B15+B14.

Пример логического выражения в формуле для суммы с условием

Другой пример, когда нам нужно отдельно суммировать цены на группы товаров стоимости до 1000 и отдельно со стоимостью больше 1000. В таком случае одного оператора сравнения нам недостаточно ( =1000) иначе мы просуммируем сумму ровно в 1000 – 2 раза, что приведет к ошибочным итоговым результатам:

Это очень распространенная ошибка пользователей Excel при работе с логическими функциями!

Внимание! В первом примере нулевые значения нам необязательно было учитывать, так как на балансовое сальдо это никак не повлияло бы, но во втором случаи нужно составлять критерий условия суммирования иначе, чтобы не допустить ошибочных просчетов.

Второй аргумент функции СУММЕСЛИ, то есть условие, которое должно быть выполнено, записывается между двойными кавычками. В данном примере используется символ сравнения – «меньше» ( ) меньше ( ), больше или равно (>=), меньше или равно ( Таблица правил составления критериев условий:

Чтобы создать условие	Примените правило	Пример
Значение равно заданному числу или ячейке с данным адресом.	Не используйте знак равенства и двойных кавычек.	=СУММЕСЛИ(B1:B10;3)
Значение равно текстовой строке.	Не используйте знак равенства, но используйте двойные кавычки по краям.	=СУММЕСЛИ(B1:B10;»Клиент5″)
Значение отличается от заданного числа.	Поместите оператор и число в двойные кавычки.	=СУММЕСЛИ(B1:B10;»>=50″)
Значение отличается от текстовой строки.	Поместите оператор и число в двойные кавычки.	=СУММЕСЛИ(B1:B10;»<>выплата»)
Значение отличается от ячейки по указанному адресу или от результата вычисления формулы.	Поместите оператор сравнения в двойные кавычки и соедините его символом амперсант (&) вместе со ссылкой на ячейку или с формулой.	=СУММЕСЛИ(A1:A10;» «&СЕГОДНЯ())
Значение содержит фрагмент строки	Используйте операторы многозначных символов и поместите их в двойные кавычки	=СУММЕСЛИ(A1:A10;»*кг*»;B1:B10)

Во втором аргументе критериев условий можно использовать разные функции и формулы. Ниже на рисунке изображен список дат и присвоенных им значений. Важно отметить что сегодня на момент написания статьи дата – «03.11.2018». Чтобы суммировать числовые значения только по сегодняшней дате используйте формулу:

Чтобы суммировать только значения от сегодняшнего дня включительно и до конца периода времени воспользуйтесь оператором «больше или равно» (>=) вместе с соответственной функцией =СЕГОДНЯ(). Формула c операторам (>=):

=»&СЕГОДНЯ();B2:B10)/B11′ >

Суммирование по неточному совпадению в условии критерия отбора

Во втором логическом аргументе критериев условий функции СУММЕСЛИ можно применять многозначные символы – (?)и(*) для составления относительных неточных запросов. Знак вопроса (?) – следует читать как любой символ, а звездочка (*) – это строка из любого количества любых символов или пустая строка. Например, нам необходимо просуммировать только защитные краски-лаки с кодом 3 английские буквы в начале наименования:

Суммируются все значения ячеек в диапазоне B2:B16 в соответствии со значениями в ячейках диапазона A2:A16, в которых после третьего символа фрагмент строки «-защита».

Таким образом удалось суммировать только определенную группу товаров в общем списке отчета по складу. Данный фрагмент наименования товара должен встречаться в определенном месте – 3 символа от начала строки. Нет необходимости использовать сложные формулы с функцией =ЛЕВСИМВ() и т.д. Достаточно лишь воспользоваться операторами многозначных символов чтобы сформулировать простой и лаконичный запрос к базе данных с минимальными нагрузками на системные ресурсы.

Источник