Вывести формулу для эдс холла

Содержание

Вывести формулу для эдс холла
Теория метода. ЭДС Холла находится по формуле:
Эффект Холла
Рис 1.1
Рис 2.2
В = Н + 4 p М
Рис 4.1

Вывести формулу для эдс холла

Одним из проявлений магнитной составляющей силы Лоренца в веществе служит эффект, обнаруженный в 1879 г. американским физиком Э.Г. Холлом (1855–1938). Эффект состоит в возникновении на боковых гранях проводника с током, помещенного в поперечное магнитное поле, разности потенциалов, пропорциональной величине тока I и индукции магнитного поля В.

Рассмотрим эффект, обусловленный действием лоренцевой силы на свободные заряды в проводнике. Представим себе проводник с током I в виде плоской ленты, расположенной в магнитном поле с индукцией , направленной от нас (рис. 2.19).

В случае изображенном на рис. 2.19, а, верхняя часть проводника будет заряжаться отрицательно, в случае 2.19, б – положительно.

Это позволяет экспериментально определить знак носителя заряда в проводнике.

При равной концентрации носителей заряда обоих знаков возникает холловская разность потенциалов, если различна подвижность, т.е. дрейфовая скорость носителей заряда.

Подсчитаем величину холловской разности потенциалов (U_х).

Обозначим: E_x – напряженность электрического поля, обусловленного ЭДС Холла, h – толщина ленты проводника.

(2.10.1)

Перераспределение зарядов прекратится, когда сила qE_x уравновесит лоренцеву силу, т.е.

или

Плотность тока , отсюда . Тогда .

(2.10.2)

где – коэффициент Холла.

Исследования ЭДС Холла привели к удивительным выводам. Металлы могут обладать проводимостью р-типа (Zn, Cd – у них дырки более подвижные, чем электроны). Это металлы с чуть перекрывающимися знаками, т.е. полуметаллы.

Из формулы (2.10.2) можно найти число носителей заряда:

(2.10.3)

Итак, измерение холловской разности потенциалов позволяет определить:

· знак заряда и тип носителей;

На рисунке 2.20 показана установка для исследования магнитного поля длинного соленоида с помощью датчика Холла.

Источник

Теория метода. ЭДС Холла находится по формуле:

ЭДС Холла находится по формуле:

где R – постоянная Холла, j – плотность тока, текущего через образец, b – толщина образца, а – его ширина, В – индукция магнитного поля, I – сила тока в образце (j=I/S=I/ab).

Для двух разных значений силы тока, текущего через датчик Холла, ЭДС Холла можно найти по формулам:

Вычитая из второго выражения первое, получим:

Если построить график зависимости U_H от I, то он будет выражаться прямой линией, и К= Δ U_H/Δ I=RB/a будет являться угловым коэффициентом для этой прямой.

Если определить К для разных значений индукции В и построить график зависимости К от В, то этот график также будет выражаться прямой (зависимость прямо пропорциональная). Угловой коэффициент для этого графика:

β= ΔК/ΔВ=R/a.Измерив β, можно найти постоянную Холла по формуле:

R=βa.(1)

Зная постоянную Холла, можно определить концентрацию носителей по формуле:

n=1/Re(2)

где e – элементарный заряд.

Описание установки

Установка состоит из объекта исследования и измерительного устройства.

Объект исследования содержит электромагнит и датчик Холла.

На передней панели измерительного устройства имеются следующие органы управления и индикации:

— кнопки НАПРАВЛЕНИЕ и ТОК «+», «- « задают значение тока через датчик Холла и через электромагнит (для увеличения значения тока нажимается «+», для уменьшения – «-«; нажатием кнопки СБРОС значения тока сбрасываются и одновременно меняется полярность, то есть направление соответствующего тока.

-ЭЛ.МАГНИТ-ДАТЧ.ХОЛЛА включает индикацию тока электромагнита или датчика Холла;

-табло мА и мВ показывают значения тока через датчик Холла или электромагнит (см.индикацию) и ЭДС Холла.

Порядок выполнения работы

1. Включите установку.

2. Выберите полярность источников питания для датчика Холла и электромагнита нажатием соответствующих кнопок.

3. Кнопкой ЭЛ.МАГНИТ-ДАТЧ.ХОЛЛА включите индикацию тока электромагнита и задайте ток электромагнита i=3,2 мА. Переключите эту кнопку на индикацию тока датчика Холла и, увеличивая ток с интервалом 0,5 мА, измерьте значения ЭДС Холла для 8-10 значений силы тока I через датчик Холла. Нажатием кнопки «СБРОС» измените направление тока через датчик (или через электромагнит – по указанию преподавателя) и повторите измерения.

Проведите аналогичные измерения еще для 2-х значений тока через электромагнит (задаются преподавателем в интервале от 3,2 мА до 6 мА ). Результаты измерений занесите в таблицу 1.

Источник

Эффект Холла

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ

Кафедра физики

студент группы 32СУ1

преподаватель Скидан В.В.

Объяснение эффекта Холла с помощью электронной теории

Эффект Холла в ферромагнетиках

Эффект Холла в полупроводниках

Эффект Холла на инерционных электронах в полупроводниках

Датчик ЭДС Холла

Список используемой литературы

Эффектом Холла называется появление в проводнике с током плотностью j , помещённом в магнитное поле Н , электрического поля Е_х , перпендикулярного Н и j . При этом напряжённость электрического поля, называемого ещё полем Холла, равна:

Рис 1.1

E_x = RHj sin a , (1)

где a угол между векторами Н и J ( a ). Когда H ^ j , то величина поля Холла Е_х максимальна: E_x = RHj . Величина R , называемая коэффициентом Холла, является основной характеристикой эффекта Холла. Эффект открыт Эдвином Гербертом Холлом в 1879 в тонких пластинках золота. Для наблюдения Холла эффекта вдоль прямоугольных пластин из исследуемых веществ, длина которых l значительно больше ширины b и толщины d , пропускается ток:

здесь магнитное поле перпендикулярно плоскости пластинки. На середине боковых граней, перпендикулярно току, расположены электроды, между которыми измеряется ЭДС Холла V_x :

Так как ЭДС Холла меняет знак на обратный при изменении направления магнитного поля на обратное, то Холла эффект относится к нечётным гальваномагнитным явлениям.

Простейшая теория Холла эффекта объясняет появление ЭДС Холла взаимодействием носителей тока (электронов проводимости и дырок) с магнитным полем. Под действием электрического поля носители заряда приобретают направленное движение (дрейф), средняя скорость которого (дрейфовая скорость) v_др ¹ 0 . Плотность тока в проводнике j = n*ev_др , где n — концентрация числа носителей, е — их заряд. При наложении магнитного поля на носители действует Лоренца сила: F = e[Hv_дp] , под действием которой частицы отклоняются в направлении, перпендикулярном v_др и Н . В результате в обеих гранях проводника конечных размеров происходит накопление заряда и возникает электростатическое поле — поле Холла. В свою очередь поле Холла действует на заряды и уравновешивает силу Лоренца. В условиях равновесия eE_x = еНv_др , E_x =1/ne Hj , отсюда R = 1/ne (cм з /кулон). Знак R совпадает со знаком носителей тока. Для металлов, у которых концентрация носителей (электронов проводимости) близка к плотности атомов ( n » 10 22 См -3 ), R

10 -3 (см 3 /кулон), у полупроводников концентрация носителей значительно меньше и R

10 5 (см 3 /кулон). Коэффициент Холла R может быть выражен через подвижность носителей заряда m = е t /m* и удельную электропроводность s = j/E = еnv_лр/Е :

Здесь m* — эффективная масса носителей, t — среднее время между двумя последовательными соударениями с рассеивающими центрами.

Иногда при описании Холла эффекта вводят угол Холла j между током j и направлением суммарного поля Е : tg j = E_x/E= W t , где W — циклотронная частота носителей заряда. В слабых полях ( W t угол Холла j » W t , можно рассматривать как угол, на который отклоняется движущийся заряд за время t . Приведённая теория справедлива для изотропного проводника (в частности, для поликристалла), у которого m* и t их— постоянные величины. Коэффициент Холла (для изотропных полупроводников) выражается через парциальные проводимости s _э и s _д и концентрации электронов n_э и дырок n_д :

(a) для слабых полей

(б) для сильных полей.

При n_э = n_д, = n для всей области магнитных полей :

а знак R указывает на преобладающий тип проводимости.

Для металлов величина R зависит от зонной структуры и формы Ферми поверхности. В случае замкнутых поверхностей Ферми и в сильных магнитных полях ( W t »1) коэффициент Холла изотропен, а выражения для R совпадают с формулой 4,б. Для открытых поверхностей Ферми коэффициент R анизотропен. Однако, если направление Н относительно кристаллографических осей выбрано так, что не возникает открытых сечений поверхности Ферми, то выражение для R аналогично 4,б.

2. Объяснение эффекта Холла с помощью электронной теории.

Если металлическую пластинку, вдоль которой течет постоянный электрический ток, поместить в перпендикулярное к ней магнитное поле, то между гранями, параллельными направлениям тока и поля возникает разность потенциалов U= j ₁— j ₂ (смотри рис 2.1). Она называется Холловской разностью потенциалов (в предыдущем пункте – ЭДС Холла) и определяется выражением:

Здесь b — ширина пластинки, j — плотность тока, B — магнитная индукция поля, R — коэффициент пропорциональности, получивший название постоянной Холла. Эффект Холла очень просто объясняется электронной теорией, отсутствие магнитного поля ток в пластинке обусловливается электрическим полем Е_о (смотри рис 2.2). Эквипотенциальные поверхности этого поля образуют систему перпендикулярных к вектору Е_о скоростей. Две из них изображены на рисунке сплошными прямыми линиями. Потенциал во всех точках каждой поверхности, а следовательно, и в точках 1 и 2 одинаков. Носители тока — электроны — имеют отрицательный заряд, поэтому скорость их упорядоченного движения и направлена противоположно вектору плотности тока j .

При включении магнитного поля каждый носитель оказывается под действием магнитной силы F , направленной вдоль стороны b пластинки и равной по модулю

В результате у электронов появляется составляющая скорости, направленная к верхней (на рисунке) грани пластинки. У этой грани образуется избыток отрицательных, соответственно у нижней грани — избыток положительных зарядов. Следовательно, возникает дополнительное поперечное электрическое поле Е_B . Тогда напряженность этого поля достигает такого значения, что его действие на заряды будет уравновешивать силу (2.2), установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Соответствующее значение E_B определяется условием: eE_B=euB . Отсюда:

Поле Е_B складывается с полем Е_о в результирующее поле E . Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны к вектору напряженности поля. Следовательно, они повернутся и займут положение, изображенное на рис. 2.2 пунктиром. Точки 1 и 2, которые прежде лежали на одной и той же эквипотенциальной поверхности, теперь имеют разные потенциалы. Чтобы найти напряжение возникающее между этими точками, нужно умножить расстояние между ними b на напряженность Е_B :

Выразим u через j , n и e в соответствии с формулой j=neu . В результате получим:

Последнее выражение совпадает с (2.1), если положить

Из (2.4) следует, что, измерив постоянную Холла, можно найти концентрацию носителей тока в данном металле (т. е. число носителей в единице объема).

Важной характеристикой вещества является подвижность в нем носителей тока. Подвижностью носителей тока называется средняя скорость, приобретаемая носителями при напряженности электрического поля, равной единице. Если в поле напряженности Е носители приобретают скорость u то подвижность их u₀ равна:

Подвижность можно связать с проводимостью s и концентрацией носителей n . Для этого разделим соотношение j=neu на напряжённость поля Е . Приняв во внимание, что отношение j к Е дает s , а отношение u к Е — подвижность, получим:

Измерив постоянную Холла R и проводимость s , можно по формулам (2.4) и (2.6) найти концентрацию и подвижность носили тока в соответствующем образце.

E₀

+++++++++++++2+++++++++++++

Рис 2.2

3. Эффект Холла в ферромагнетиках.

В ферромагнетиках на электроны проводимости действует не только внешнее, но и внутреннее магнитное поле:

В = Н + 4 p М

Это приводит к особому ферромагнитному эффекту Холла. Экспериментально обнаружено, E_x= (RB + R_аM)j , где R — обыкновенный, a R_a — необыкновенный (аномальный) коэффициент Холла. Между R_a и удельным электросопротивлением ферромагнетиков установлена корреляция.

4. Эффект Холла в полупроводниках.

Эффект Холла наблюдается не только в металлах, но и в полупроводниках, причем по знаку эффекта можно судить о принадлежности полупроводника к n- или p-типу, так как в полупроводниках n-типа знак носителей тока отрицательный, полупроводниках p-типа – положительный. На рис. 4.1 сопоставлен эффект Холла для образцов с положительными и отрицательными носителями. Направление магнитной силы изменяется на противоположное как при изменении направления движения заряда, так и при изменении его знака. Следовательно, при одинаковом направлении тока и поля магнитная сила, действующая на положительные и отрицательные носители, имеет одинаковое направление. Поэтому в случае положительных носителей потенциал верхней (на рисунке) грани выше, чем нижней, а в случае отрицательных носителей — ниже. Таким образом, определив знак холловской разности потенциалов, можно установить знак носителей тока. Любопытно, что у некоторых металлов знак U_н соответствует положительным носителям тока. Объяснение этой аномалии дает квантовая теория.

– – – – – – – – – – –

Рис 4.1

5. Эффект Холла на инерционных электронах в полупроводниках.

Предсказан новый физический эффект, обусловленный действием силы Лоренца на электроны полупроводника, движущегося ускоренно. Получено выражение для поля Холла и выполнены оценки холловского напряжения для реальной двумерной гетероструктуры. Выполнен анализ возможной схемы усиления холловского поля на примере двух холловских элементов, один из которых — генератор напряжения, а второй — нагрузка.

Известен опыт Толмена и Стюарта, в котором наблюдался импульс тока j , связанный с инерцией свободных электронов. При инерционном разделении зарядов в проводнике возникает электрическое поле напряженностью E . Если такой проводник поместить в магнитное поле B , то следует ожидать появления эдс, аналогичной эффекту Холла, обусловленной действием силы Лоренца на инерционные электроны.

В проводнике, движущемся с ускорением dv_x / dt , возникает ток j_x и поле E_x

, (1)

, (2)

где s = en m — проводимость, m — подвижность. В магнитном поле B (0; 0; B_z ) возбуждается поле E_y = (1/ ne ) j_xB_z или

(3)

Последнее выражение эквивалентно E_y = E_x m B_z .

Наиболее подходящий объект для экспериментального наблюдения эффекта — двумерные электроны в гетеросистеме n -Al _x Ga_1-xAs/GaAs. В единичном образце (1×1 см 2 ) в поле 1 Тл и m @ 10 4 см 2 (В * с) для dv_x/dt @ 10 м/с 2 следует ожидать сигнал V_y @ 6*10 -11 B, что вполне доступно для современной техники измерений.

Рассмотрим одну из возможностей усиления эффекта на примере двух холловских элементов, один из которых (I) является генератором поля Холла, а второй (II) —нагрузкой. Схема соединений холловских элементов I и II показана на рисунке.

Итак, в магнитном поле B_z (направление которого на рисунке обозначено знаком Å ) в первом холловском элементе (I) возбуждается ток j (1) _x , поле E (1) _x и холловское поле E (1) _y , даваемые выражениями (1)–(3). Замкнув потенциальные (холловские) контакты X ₁— X₁ на токовые контакты T ₂— T₂ холловского элемента II, в последнем дополнительно к первичному полю E (2) _x = E (1) _x , определяемому выражением (2), имеем и поле E (1) _y . Так что результирующее поле имеет два компонента — E (2) _x = E (1) _x+ E (1) _y . Это возможно, если холловский элемент I рассматривать как генератор напряжения, нагруженный на холловский элемент II. В этом случае должен выполняться режим ”холостого хода”, для чего необходимо выполнить условие R ( X ₁— X ₁) R ( T ₂— T ₂), где R — сопротивление между соответствующими контактами. В таком случае в холловском элементе II возбуждается поле

Учитывая соотношение E (1) _y=E (1) _x m B_z, получаем

Непосредственное наблюдение эффекта, видимо, затруднено. Более реально осуществить опыты с вибрацией образца в магнитном поле. Полезный сигнал e _y при этом может быть отделен от наводки e * _y по квадратичной зависимости от частоты колебаний w (наводка пропорциональна 1-й степени частоты колебаний).

В самом деле, для данной геометрии опыта (см рисунок) в магнитном поле B (0; 0; B_z ) при изменении координаты x со временем по закону x = x ₀ cos w t, где w — частота задающего генератора, нагруженного на пьезоэлемент, и x ₀ — амплитуда колебаний последнего, имеем из соотношения (3)

(6)

где l_y — расстояние между холловскими контактами образца ( X ₁— X ₁) т. е. E _y = E_yl_y . Паразитная наводка e * _y , возникающая в соединительных проводах в соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея, определяется выражением

(7)

где l * _y — эффективная длина соединительных проводников, включающих образец в схему измерений. Таким образом, полезный сигнал e _y имеет отличительные особенности по отношению к наводке e * _y . Первая особенность это пропорциональность величине w 2 , тогда как e * _y » w . Одновременно e _y во времени изменяется синфазно, а e * _y — противофазно напряжению задающего генератора. Существенно отметить, что масса, входящая в выражения (1)-(3), это масса свободного электрона; величина же подвижности m определяется эффективной массой.

Указаны направления: знаком Å — магнитного поля B_z; стрелками — ускорения dV_x/dt; полей Холла E (1) _y , E (2) _y ; плотностей тока j (1) _x , j (2) _x .

6. Датчик ЭДС Холла.

Датчик ЭДС Холла – это элемент автоматики, радиоэлектроники и измерительной техники, используемый в качестве измерительного преобразователя, действие которого основано на эффекте Холла. Представляет собой тонкую прямоугольную пластину (площадь – несколько мм 2 ), или пленку, изготовленную из полупроводника (Si, Ge, InSb, InAs), имеет четыре электрода для подвода тока и съёма ЭДС Холла. Чтобы избежать механических повреждений, пластинки Холла ЭДС датчика монтируют (а пленку напыляют в вакууме) на прочной подложке из диэлектрика (слюды, керамики). Для получения наибольшего эффекта толщина пластины (плёнки) делается возможно меньшей. Датчики ЭДС Холла применяют для бесконтактного измерения магнитных полей (от 10 -6 до 10 5 Э). При измерении слабых магнитных полей пользуются Холла ЭДС датчиками, вмонтированными в зазоре ферро– или ферримагнитного стержня (концентратора), что позволяет значительно повысить чувствительность датчика. Так как в полупроводниках концентрация носителей зарядов (а следовательно, и коэффициент Холла) может зависеть от температуры, то в случае точных измерений необходимо либо термостатировать Холла ЭДС датчик, либо применять сильнолегированные полупроводники (последнее снижает чувствительность датчика).

При помощи Холла ЭДС датчика можно измерять любую физическую величину, которая однозначно связана с магнитным полем; в частности можно изменять силу тока, так как вокруг проводника с током образуется магнитное поле, которое можно измерить. На основе Холла ЭДС датчика созданы амперметры на токи до 100 кА. Кроме того Холла ЭДС датчики применяются в измерителях линейных и угловых перемещений, а также в измерителях градиента магнитного поля, магнитного потока и мощности электрических машин, в бесконтактных преобразователях постоянного тока в переменный, и, наконец, в воспроизводящих головках систем звукозаписи.

8. Список используемой литературы.

1) Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика , т. VIII. Электродинамика сплошных сред (М., Наука, 1982)

2) И.М. Цидильковский УФН, 115 , 321 (1975).

Редактор Т.А. Полянская

3) Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № 4

4) И.В. Савельев Курс общей физики, т. II. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика : Учебное пособие. – 2-е издание, переработанное (М., Наука, главная редакция физико-математической литературы,1982) с.233 – 235.

5) Большая советская энциклопедия, том 28, третье издание (М., издательство «Советская энциклопедия», 1978) с.338-339.

Источник