Выведите формулу для расчета первой космической скорости спутника движущегося по круговой орбите

2. Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью 1,67 км/с. Определите радиус Луны, если известно, что ускорение свободного падения на её поверхности равно 1,6 м/с 2 .

Источник

Выведите формулу для расчета первой космической скорости спутника движущегося по круговой орбите

1. Что необходимо сделать с физическим телом, чтобы оно стало искусственным спутником Земли?

Для того, чтобы некоторое тело стало искусственным спутником Земли, его нужно вывести за пределы земной атмосферы и придать ему определенную скорость, направленную по касательной к окружности, по которой он будет двигаться.

Объяснения по рисунку Ньютона:

Земной шар, на нем показана высокая гора, с вершины которой бросают камни, придавая им различные по модулю горизонтально направленные скорости.
Брошенный камень отклонится под действием силы тяжести от прямолинейного пути и, описав кривую траекторию, упадет на Землю.
Если его бросить с большой скоростью, то он упадет дальше.
Вывод:
при отсутствии сопротивления воздуха и при достаточно большой скорости тело вообще может не упасть иа Землю, а будет описывать круговые траектории, оставаясь на одной и той же высоте над Землей.
Такое тело становится искусственным спутником Земли.

2. Как должна быть направлена скорость тела в момент его вывода на круговую орбиту, чтобы оно стало искусственным спутником Земли?

Тело, которому на высоте h над Землей сообщена недостаточная начальная скорость в горизонтальном направлении будет двигаться по параболе и в конце концов упадет на Землю.

Но можно подобрать такое значение скорости тела, при котором поверхность Земли из-за ее кривизны будет удаляться от тела как раз на столько, на сколько тело приближается к Земле благодаря притяжению к ней.
Тогда тело будет двигаться на постоянном расстоянии h от поверхности Земли, т. е. по окружности радиусом (R3 + h), где R3 — радиус Земли.
Скорость ИСЗ должна быть направлена по касательной к траектории движения (т.е. по касательной к окружности).

3. Как направлено ускореиие искусственного спутника Земли?

Раз искусственный спутник Земли движется равномерно по окружности, то его ускорение является центростремительным.
Центростремительное ускорение всегда направлено к центру окружности, в данном случае к центру Земли.

4. Можно ли считать движение ИСЗ равноускоренным?

Движение искусственного спутника Земли нельзя назвать равноускоренным.
Почему?

Равноускоренным движением называется движение тела с неизменным ускорением (по модулю и направлению).
ИСЗ движется по окружности с постоянной по модулю скоростью и имеет центростремительное ускорение.
Вектор центростремительного ускорения характеризуется постоянным модулем, но непрерывно меняет свое направление.
Такое движение нельзя назвать равноускоренным.

Кроме того, сила тяготения к Земле, придающая ИСЗ центростремительное ускорение, является центростремительной силой, и тоже вектор.
Этот вектор силы неизменен по модулю, но постоянно меняет свое направление.
А по второму закону Ньютона ускорение и сила, его вызывающая, всегда имеют одинаковое направление (в данном случае другие силы на ИСЗ не действуют).
Значит ускорение ИСЗ меняется по направлению.

5. Космонавт вышел из космического корабля в открытый космос. Был ли он в это время в состоянии невесомости?

Движение спутников вокруг Земли происходит под действием только силы всемирного тяготения, которая сообщает всем телам одинаковое ускорение — и спутнику, и всему, что в нем находится.
Это значит, что все тела в спутнике, в том числе и космонавты , находятся в состоянии невесомости.

Вышедший из космического корабля в открытый космос космонавт движется с такой же скоростью, что и корабль — он также находится в состоянии невесомости.

6. Существуют ли примеры из области астрономии, доказывающие, что при отсутствии сил сопротивления тело может неограниченно долго двигаться по замкнутой траектории под действием силы, меняющей направление скорости движения этого тела.

Да. Например:
Движение планет Солнечной системы вокруг Солнца.

7. Почему спутники, обращаясь вокруг Земли под действием силы тяжести, не падают на Землю?

Но спутник не падает на Землю благодаря тому, что обладает достаточно большой скоростью, направленной по касательной к окружности, по которой он движется.

Например:
Естественный спутник Земли Луна обращается вокруг планеты около четырёх миллиардов лет.

8. Можно ли считать обращение спутника вокруг Земли свободным падением?

Движение спутника является примером свободного падения, так как происходит только под действием силы тяжести.

Например:
Обращение Луны вокруг Земли является примером свободного падения

9. Как вывести формулу для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли?

Наименьшая высота над поверхностью Земли, на которой сопротивление воздуха практически отсутствует, составляет примерно 300 км. Поэтому обычно спутники запускают на высоте 300—400 км от земной поверхности.

Вывод формулуы для расчёта скорости, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Земли, двигаясь вокруг неё по окружности:

Движение спутника происходит под действием одной только силы тяжести.
Эта сила сообщает ему ускорение свободного падения g, которое в данном случае выполняет роль центростремительного ускорения.
Центростремительное ускорение определяется по формуле:

Так определяется скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно обращалось по окружности вокруг Земли на расстоянии г от её центра.
Эта скорость называется первой космической скоростью (круговой).

а) Если высота h спутника над поверхностью Земли мала по сравнению с земным радиусом, то ею можно пренебречь и считать, что г ≈ R_з, а ускорение свободного падения берется вблизи поверхности Земли равное 9,8 м/с 2 .

б) Если же высотой h спутника над Землёй пренебречь нельзя, то расстояние от центра Земли до спутника будет (r = Rз + h), а ускорение свободного падения g на высоте h определяют по формуле:

Тогда скорость спутника считают по формуле:

По этой формуле можно рассчитать первую космическую скорость спутника любой планеты, если вместо массы и радиуса Земли подставить соответственно массу и радиус данной планеты.
Чем больше высота h, на которой запускается спутник, тем меньшую скорость v ему нужно сообщить для его движения по круговой орбите (так как h стоит в знаменателе дроби).

10. Как движется спутник, обладающий первой космической скоростью; второй космической скоростью?

Спутником Земли может стать тело любой массы, лишь бы ему была сообщена достаточная скорость. Эта скорость называется первой космической скоростью.
При радиусе Земли равным 6400 км (или 6,4 • 10 6 м), и g = 9,8 м/с 2 первая космическая скорость для ИСЗ, запускаемого вблизи поверхности Земли составляет 7,9 км/с.

Такую скорость в горизонтальном направлении нужно сообщить телу на небольшой, сравнительно с радиусом Земли, высоте, чтобы оно не упало на Землю, а стало ее спутником, движущимся по круговой орбите.

Если скорость тела, запускаемого на высоте h над Землёй, превышает соответствующую этой высоте первую космическую скорость, то его орбита представляет собой эллипс.
Чем больше скорость, тем более вытянутой будет эллиптическая орбита.

При скорости, равной 11,2 км/с, которая называется второй космической скоростью, ИСЗ преодолевает притяжение Земли и уходит с орбиты Земли в космическое пространство.

Источник

Первая космическая скорость

Первая космическая скорость – это скорость, с которой спутник движется вокруг планеты по круговой орбите, не удаляясь от планеты и не падая на нее.

То есть, для первой космической скорости орбита — это окружность. Расстояние от центра планеты до спутника равно \( R = \left( r + h \right) \). Это представлено на рисунке 1.

Формула для вычисления первой космической скорости

Первую космическую скорость можно посчитать по формуле:

\( v \left( \frac<\text<м>><\text> \right) \) (метры в секунду) – первая космическая скорость

\( M \left( \text <кг>\right) \) (килограммы) — масса планеты, вокруг которой движется спутник

\( r \left( \text <м>\right) \) (метры) – радиус планеты

\( h \left( \text <м>\right) \) (метры) — расстояние от поверхности планеты до спутника

\(G \ = 6<,>67 \cdot 10^ <-11>\left( \text <Н>\cdot \frac<\text<м>^2><\text<кг>^2> \right)\) — гравитационная постоянная

Первая космическая скорость в цифрах для некоторых небесных тел

первая космическая скорость у поверхности Земли \( v = 8000 \left( \frac<\text<м>><\text> \right) \)

первая космическая скорость у поверхности Солнца \( v = 437000 \left( \frac<\text<м>><\text> \right) \)

первая космическая скорость у поверхности Луны \( v = 1680 \left( \frac<\text<м>><\text> \right) \)

первая космическая скорость у поверхности Марса \( v = 3530 \left( \frac<\text<м>><\text> \right) \)

Как выводится формула первой космической скорости

Рассмотрим движение спутника вокруг Земли.

Земля и спутник притягиваются, запишем закон притяжения между планетой и спутником

При круговом движении на спутник действует центростремительная сила (как и на любое тело при таком движении).

Мы можем записать эти уравнения в виде системы.

\[ \begin \displaystyle F = G\cdot \frac <(r+h)^<2>> \\ \displaystyle F_<\text<ц>> = m \cdot \frac > <(r+h)>\\ \end \]

Земля и спутник притягиваются, благодаря этому спутник движется вокруг Земли по круговой орбите. Значит, притяжение между спутником и Землей – это центростремительная сила. Именно она заставляет спутник двигаться вокруг планеты по окружности. На языке математики это запишется так:

А если равны левые части уравнений, то будут равны и правые:

Масса \( m \) спутника и расстояние \( R \) между телами встречается в обеих частях уравнения. Поделим обе части уравнения на массу спутника.

Теперь умножим обе части уравнения на расстояние \(\left( r + h \right) \). Получим:

Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения, чтобы получить скорость:

Вам будет интересно почитать:

Движение по окружности, центростремительная сила и центростремительное ускорение

Источник

§ 19. Искусственные спутники Земли

Обратимся ещё раз к рисунку 34, (б). Если шарик толкнуть, а затем предоставить самому себе, то он опишет некоторую дугу и остановится. Причиной остановки шарика является действие на него силы трения и силы сопротивления воздуха, препятствующих движению и уменьшающих его скорость.

Если уменьшить действие тормозящих сил, то шарик может описать вокруг точки О одну или несколько окружностей, прежде чем остановится (при этом крепление шнура в точке О должно быть таким, чтобы оно не препятствовало движению шарика).

Если бы нам удалось устранить все силы сопротивления движению, то шарик бесконечно двигался бы вокруг точки О по замкнутой кривой, например по окружности. При этом направление скорости шарика непрерывно менялось бы под действием силы, направленной к центру окружности.

Примером подобного движения служит обращение планет вокруг Солнца и спутников вокруг планет.

Рассмотрим более детально вопрос о запуске и движении искусственных спутников Земли (сокращенно ИСЗ).

Чтобы понять, при каких условиях тело может стать искусственным спутником Земли, рассмотрим рисунок 42. Он представляет собой копию рисунка, сделанного Ньютоном. На этом рисунке изображён земной шар, а на нём показана высокая гора, с вершины которой бросают камни, придавая им различные по модулю горизонтально направленные скорости.

В подписи к рисунку говорится: «Брошенный камень отклонится под действием силы тяжести от прямолинейного пути и, описав кривую траекторию, упадёт, наконец, на Землю. Если его бросить с большой скоростью, то он упадёт дальше». Продолжая эти рассуждения, Ньютон приходит к выводу, что при отсутствии сопротивления воздуха и при достаточно большой скорости тело вообще может не упасть на Землю, а будет описывать круговые траектории, оставаясь на одной и той же высоте над Землёй. Такое тело становится искусственным спутником Земли.

Движение спутника является примером свободного падения, так как происходит только под действием силы тяжести. Но спутник не падает на Землю благодаря тому, что обладает достаточно большой скоростью, направленной по касательной к окружности, по которой он движется. Так, естественный спутник Земли Луна (рис. 43) обращается вокруг планеты около четырёх миллиардов лет.

Значит, для того чтобы некоторое тело стало искусственным спутником Земли, его нужно вывести за пределы земной атмосферы и придать ему определённую скорость, направленную по касательной к окружности, по которой он будет двигаться.

Наименьшая высота над поверхностью Земли, на которой сопротивление воздуха практически отсутствует, составляет примерно 300 км. Поэтому обычно спутники запускают на высоте 300—400 км от земной поверхности.

Выведем формулу для расчёта скорости, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Земли, двигаясь вокруг неё по окружности.

Движение спутника происходит под действием одной только силы тяжести. Эта сила сообщает ему ускорение свободного падения g, которое в данном случае выполняет роль центростремительного ускорения.

Вы уже знаете, что центростремительное ускорение определяется по формуле:

Значит, для спутника

По этой формуле определяется скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно обращалось по окружности вокруг Земли на расстоянии r от её центра.

Эта скорость называется первой космической скоростью (круговой).

Если высота h спутника над поверхностью Земли мала по сравнению с земным радиусом, то ею можно пренебречь и считать, что r ≠ R3. Обозначим ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли g₀.

Тогда формула для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося вблизи поверхности Земли, будет выглядеть так:

Рассчитаем эту скорость, принимая радиус Земли равным 6400 км (или 6,4 • 10 6 м), а g₀ = 9,8 м/с 2 .

Если же высотой h спутника над Землёй пренебречь нельзя, то расстояние r от центра Земли до спутника и ускорение свободного падения g на высоте h определяются по следующим формулам:

В этом случае формула для расчёта первой космической скорости примет вид:

По этой формуле можно рассчитать первую космическую скорость спутника любой планеты, если вместо массы и радиуса Земли подставить соответственно массу и радиус данной планеты.

Из формулы следует, что чем больше высота h, на которой запускается спутник, тем меньшую скорость и ему нужно сообщить для его движения по круговой орбите (так как h стоит в знаменателе дроби). Например, на высоте 300 км над поверхностью Земли первая космическая скорость приблизительно равна 7,8 км/с, а на высоте 500 км — 7,6 км/с.

Если скорость тела, запускаемого на высоте h над Землёй, превышает соответствующую этой высоте первую космическую, то его орбита представляет собой эллипс (см. рис. 42, внешнюю траекторию). Чем больше скорость, тем более вытянутой будет эллиптическая орбита. При скорости, равной 11,2 км/с, которая называется второй космической скоростью, тело преодолевает притяжение к Земле и уходит в космическое пространство.

Для запуска спутников применяют ракеты. Двигатели ракеты должны совершить работу против сил тяжести и сил сопротивления воздуха, а также сообщить спутнику соответствующую скорость.

4 октября 1957 г. в Советском Союзе был запущен первый в истории человечества искусственный спутник Земли. Спутник в виде шара диаметром 58 см и массой 83,6 кг и ракета- носитель долгое время двигались над Землёй на высоте в несколько сотен километров.

12 апреля 1961 г. первый в мире лётчик-космонавт, наш соотечественник Юрий Алексеевич Гагарин совершил полёт в космос на космическом корабле «Восток».

В настоящее время сотни спутников запускаются каждый год в научно-исследовательских и практических целях: для осуществления теле- и радиосвязи, исследования атмосферы, прогнозирования погоды и т. д.

Вопросы

1. Приведите примеры (из области астрономии), доказывающие, что при отсутствии сил сопротивления тело может неограниченно долго двигаться по замкнутой траектории под действием силы, меняющей направление скорости движения этого тела.
2. Почему спутники, обращаясь вокруг Земли под действием силы тяжести, не падают на Землю?
3. Можно ли считать обращение спутника вокруг Земли свободным падением?
4. Что необходимо сделать с физическим телом, чтобы оно стало искусственным спутником Земли?
5. Выведите формулу для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли.
6. Как движется спутник, обладающий первой космической скоростью; второй космической скоростью?

Упражнение 19

1. Определите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте 2600 км над поверхностью Земли. (М₃ = 6 • 10 24 кг; R₃ = 6,4 • 10 6 м.)

2. Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью 1,67 км/с. Определите радиус Луны, если известно, что ускорение свободного падения на её поверхности равно 1,6 м/с 2 .

Источник