Как вывести все передаточные функции

Вывод передаточных функций элементов системы и расчет их характеристик

Из ранее описанного пункта «1.Описание исходной аналоговой системы управления» можно вывести передаточные функции основных элементов системы, таких как:

Тиристорный преобразователь мощности

И произвести по ним расчёт.

Рассмотрим более подробно каждый элемент и расчет каждой передаточной функции.

1) Нагревательный элемент

Т.к. по спирали НЭ протекает электрический ток IНЭ, то энергия, подаваемая к НЭ за промежуток времени dt, будет равна . В этом случае можно записать

,

где q — температура нагревательного элемента.

Разделив левую и правую части последнего уравнения на n×F×dt получим

.

— постоянная времени НЭ;

— коэффициент преобразования НЭ.

Найдем численные значения параметров НЭ.

,

Передаточная функция НЭ будет иметь вид

Т.к. внутри ТК выделяется тепло с поверхности НЭ, то это тепло, подаваемое за промежуток времени dt, будет равно . В этом случае можно записать

Разделив левую и правую части последнего уравнения на n×F×dt получим

.

— постоянная времени ТК;

— коэффициент преобразования ТК.

Найдем численные значения параметров ТК.

,

Передаточная функция ТК будет иметь вид

.

3) Тиристорный преобразователь мощности

Тиристорный преобразователь мощности вместе с системой управления в первом приближении может быть представлен апериодическим звеном с передаточной функцией вида

,

где ТТПМ=Т+t.; t — время запаздывания силовой части тиристорного преобразователя; этой величиной ввиду ее малости можно пренебречь.

В данном случае

— постоянная времени ТПМ (m — количество фаз напряжения питания, m=3; f — промышленная частота источника питания, f=50 гц);

— передаточный коэффициент тиристорного преобразователя мощности (UУ — максимальное значение сигнала управления).

Передаточный коэффициент будет равен

Передаточная функция тиристорного преобразователя мощности в численном значении будет иметь вид

.

Ввиду малой величины постоянной времени передаточную функцию тиристорного преобразователя мощности возможно выразить безынерционным звеном типа WТПМ=16,346.

4) Датчик температуры

Напряжение питания мостовой схемы UМС=1 B. Датчик температуры является безынерционным звеном и характеризуется только передаточным коэффициентом.

Терморезистор ЭТС-5.6 работает при температурах от -50ºС до 400ºС. Номинальное сопротивление при 0ºС 75 Ом. Погрешность измерения 0,3ºС. При изменении температуры на 100ºС сопротивление резистора увеличивается на 15,198 Ом и становится равным 90,198 Ом. При измерении температуры в 100ºС напряжение на выходе мостовой схемы составит

Настраиваемая система автоматического управления освещенностью и температурой в террариуме
В первой лабораторной работе, по согласованию с преподавателем, было написано техническое задание к дипломному проекту. НАСТРАИВАЕМАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ОСВЕЩЕННОСТЬЮ И ТЕМПЕРАТУРОЙ В ТЕРРАРИУМЕ «ЗАРЯ» ) НАИМЕНОВАНИЕ И ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ .1) Настраиваемая систе .

Источник

Передаточные и переходные функции типовых динамических звеньев

Рис. 2.14. Схема и параметры элемента

Минимально-фазовые элементы дают минимальный фазовый сдвиг j (w) по сравнению с любыми другими элементами, имеющими такую же амплитудную характеристику A(w ) , но у которой действительная часть хотя бы одного полюса или нуля положительна.

Рис. 2.12. Схема и кривые, поясняющие сущность частотных характеристик

Рис. 2.10. Схема четырехполюсника с нелинейным резистором

Рис. 2.9. Схема четырехполюсника с линейными элементами

Нелинейное дифференциальное уравнение – уравнение, в котором функция Ф содержит произведения, частные, степени и т. д. переменных y(t), x(t) и их производных.

Так, например, передаточные свойства четырехполюсника с нелинейным резистором (рис. 2.10) описываются нелинейным дифференциальным уравнением вида

0. (2.18)

В функцию Ф (дифференциальное уравнение) входят также величины, называемые параметрами. Они связывают между собой аргументы (y(t), y¢(t), y (n) (t); x(t), x (m) (t), t) и характеризуют свойства элемента с количественной стороны. Например, параметрами являются масса тела, активное сопротивление, индуктивность и емкость проводника и т. д.

Большинство реальных элементов описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, что значительно усложняет последующий анализ АСУ. Поэтому стремятся перейти от нелинейных к линейным уравнениям вида

(2.19)

Для всех реальных элементов выполняется условие m £ n .

Коэффициенты a₀, a_1, a_n и b₀, b_1, b_m в уравнении (2.19) называются параметрами. Иногда параметры изменяются во времени, тогда элемент называют нестационарным или с переменными параметрами. Таковым, например, является четырехполюсник, схема которого приведена на рис. 2.10.

Однако в дальнейших рассуждениях будем рассматривать только элементы с постоянными параметрами.

Если при составлении линейного дифференциального уравнения осуществлялась линеаризация статической характеристики элемента, то оно справедливо лишь для окрестности точки линеаризации и может записываться в отклонениях переменных (2.13-2.16). Однако, с целью упрощения записи, отклонения переменных в линеаризованном уравнении будем обозначать теми же символами, что и в исходном нелинейном уравнении, но без символа D .

Важнейшим практическим достоинством линейного уравнения (2.19) является возможность применения принципа наложения, согласно которому изменение выходной величины y(t), возникающее при действии на элемент нескольких входных сигналов x_i(t), равно сумме изменений выходных величин y_i(t), вызываемых каждым сигналом x_i(t) в отдельности (рис.2.11).

Рис. 2.11. Иллюстрация принципа наложения

Временные характеристики

Дифференциальное уравнение не дает наглядного представления о динамических свойствах элемента, но такое представление дает функция y(t), т. е. решение этого уравнения.

Однако одно и то же дифференциальное уравнение может иметь множество решений, зависящих от начальных условий и характера входного воздействия x(t), что неудобно при сопоставлении динамических свойств различных элементов. Поэтому было решено характеризовать эти свойства элемента только одним решением дифференциального уравнения, полученным при нулевых начальных условиях и одном из типовых воздействий: единичном ступенчатом, дельта-функции, гармоническом, линейном. Наиболее наглядное представление о динамических свойствах элемента дает его переходная функция h(t).

Переходная функция h(t) элемента – изменение во времени выходной величины y(t) элемента при единичном ступенчатом воздействии и нулевых начальных условиях.

Переходная функция может быть задана:

· в аналитическом виде.

Переходная функция, как и любое решение неоднородного (с правой частью) дифференциального уравнения (2.19), имеет две составляющие:

· вынужденную h_в(t) (равна установившемуся значению выходной величины);

· свободную h_с(t) (решение однородного уравнения).

Вынужденную составляющую можно получить решая уравнение (2.19) при нулевых производных и x(t) = 1

(2.20)

Свободную составляющую получаем решая уравнение (2.19) при нулевой правой части

h_с(t) = (2.21)

где p_k – k-й корень характеристического уравнения (в общем случае комплексное число); С_k — k-я постоянная интегрирования (зависит от начальных условий).

Характеристическое уравнение – алгебраическое уравнение, степень и коэффициенты которого совпадают с порядком и коэффициентами левой части линейного дифференциального уравнения вида (2.19)

Передаточная функция

Наиболее распространенным методом описания и анализа АСУ является операционный метод (метод операционного исчисления), в основе которого лежит прямое интегральное преобразование Лапласа для непрерывных функций

F(p) = Z < f(t) > = f(t) e -pt dt . (2.23)

Это преобразование устанавливает соответствие между функцией действительной переменной t и функцией комплексной переменной p = a + jb. Функцию f(t), входящую в интеграл Лапласа (2.23), называют оригиналом, а результат интегрирования – функцию F(p) – изображением функции f(t) по Лапласу.

Преобразование выполнимо лишь для функций, которые равны нулю при t n + a₁ p n-1 +…+ a_n — собственный оператор; (2.27)

K(p) = b₀ p m + b₁ p m-1 +…+ b_m — входной оператор. (2.28)

Введем понятие передаточной функции .

Передаточная функция – отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях:

(2.29)

Тогда с учетом уравнения (2.26) и обозначений (2.27, 2.28) выражение для передаточной функции принимает вид:

(2.30)

Значение переменной p, при которой передаточная функция W(p) обращается в бесконечность, называется полюсом передаточной функции. Очевидно, что полюсами являются корни собственного оператора D(p).

Значение переменной p, при которой передаточная функция W(p) обращается в нуль, называется нулем передаточной функции. Очевидно, что нулями являются корни входного оператора K(p).

Если коэффициент a₀ ¹ 0, то передаточная функция не имеет нулевого полюса ( p = 0 ), характеризуемый ей элемент называют астатическим и передаточная функция этого элемента при p = 0 ( t = ¥ ) равна передаточному коэффициенту

(2.31)

Частотные характеристики

Частотные характеристики описывают передаточные свойства элементов и АСУ в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим воздействием. Они находят применение в ТАУ, так как реальные возмущения, а следовательно и реакции на них элемента или АСУ могут быть представлены как сумма гармонических сигналов.

Рассмотрим сущность и разновидности частотных характеристик. Пусть на вход линейного элемента (рис. 2.12, а) в момент времени t = 0 подано гармоническое воздействие с частотой w

x(t) = x_m sinw t. (2.32)

По завершении переходного процесса установится режим вынужденных колебаний и выходная величина y(t) будет изменяться по тому же закону, что и входная x(t), но в общем случае с другой амплитудой y_m и с фазовым сдвигом j по оси времени относительно входного сигнала (рис. 2.12, б):

Проведя аналогичный опыт, но при другой частоте w, можно увидеть, что амплитуда y_m и фазовый сдвиг j изменились, т. е. они зависят от частоты. Можно убедиться также, что для другого элемента зависимости параметров y_m и j от частоты w иные. Поэтому такие зависимости могут служить характеристиками динамических свойств элементов.

В ТАУ наиболее часто используют следующие частотные характеристики:

· амплитудная частотная характеристика (АЧХ);

· фазовая частотная характеристика (ФЧХ);

· амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) – зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты

(2.34)

АЧХпоказывает, как элемент пропускает сигналы различной частоты. Пример АЧХ приведен на рис. 2.13, а.

Рис. 2.13. Частотные характеристики:

а – амплитудная; б – фазовая; в – амплитудно-фазовая; г – логарифмическая

Фазовая частотная характеристика ФЧХ – зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты.

ФЧХ показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах. Пример ФЧХ приведен на рис. 2.13, б.

Амплитудную и фазовую характеристики можно объединить в одну общую – амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). АФЧХ представляет собой функцию комплексного переменного jw :

W(jw) = A(w ) e j j ( w ) (показательная форма), (2.35)

где A(w ) – модуль функции; j (w) – аргумент функции.

Каждому фиксированному значению частоты w_i соответствует комплексное число W( jw_i ), которое на комплексной плоскости можно изобразить вектором, имеющим длину A(w_i ) и угол поворота j (w_i ) (рис. 2.13, в). Отрицательные значения j (w), соответствующие отставанию выходного сигнала от входного, принято отсчитывать по часовой стрелке от положительного направления действительной оси.

При изменении частоты от нуля до бесконечности вектор W(jw) поворачивается вокруг начала координат, при этом одновременно изменяется длина вектора. Кривая, которую при этом опишет конец вектора, и есть АФЧХ. Каждой точке характеристики соответствует определенное значение частоты.

Проекции вектора W(jw) на действительную и мнимую оси называют соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками и обозначают P(w ), Q(w ). Это позволяет записать АФЧХ в алгебраической форме:

АФЧХ, как и любую комплексную величину, можно также представить в тригонометрической форме:

W(jw) = A(w )cosj (w) + j A(w )sinj (w). (2.37)

Аналитическое выражение для АФЧХ конкретного элемента можно получить из его передаточной функции путем подстановки p = jw:

Связь между различными частотными характеристиками следующая:

A(w ) = ç W(jw) ç = (2.39)

j (w) = arg W(jw) = (2.40)

При практических расчетах АСУ (без применения электронных вычислительных машин) удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат. Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют меньшую кривизну и поэтому могут быть приближенно заменены ломаными линиями, составленными из нескольких прямолинейных отрезков. Причем, эти отрезки в большинстве случаев удается построить без громоздких вычислений при помощи некоторых простых правил.

Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.

За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду.

Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением частоты w_i и его десятикратным значением 10w_i .

Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1.

Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

L(w) = 20 lg A(w ), (2.41)

ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – беллах (Б) или децибеллах (дБ).

Белл – единица измерения мощностей двух сигналов.

Если мощность одного сигнала больше (меньше) мощности другого сигнала в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 Б, (lg 10 = 1). Так как мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, то при применении этой единицы для измерения отношения амплитуд перед логарифмом появляется множитель 2. Например, если на некоторой частоте A(w ) = 100, то это означает, что мощности входного и выходного сигналов отличаются в 100 2 раз, т.е. на 2lg 100 = 4 Б или на 40 дБ, соответственно и L(w) = 20 lg A(w ) = 40 дБ.

При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяют только для оси абсцисс (оси частоты).

На рис. 2.13, г показаны ЛАЧХ L(w) (толстая линия) и соответствующая ей приближенная (асимптотическая) характеристика L_а(w) в виде прямолинейных отрезков (тонкая линия). Частоты, соответствующие точкам стыковки отрезков, называют сопрягающими и обозначают w_с.

По виду частотных характеристик все элементы делятся на две группы:

Минимально-фазовый элемент – элемент, у которого все полюсы и нули передаточной функции W(p) имеют отрицательные действительные части.

Минимально-фазовые элементы обладают важным для практических расчетов свойством: их частотная передаточная функция полностью определяется одной из трех составляющих — A(w ), P(w ) и Q(w ). Это существенно упрощает задачи анализа и синтеза минимально-фазовых систем.

Пример определения статических и динамических характеристик элемента АСУ

Для элемента АСУ (четырехполюсника), схема и параметры которого приведены на рис. 2.14, найдем следующие статические и динамические характеристики:

· частотные (амплитудно-фазовую, амплитудную, фазовую, логарифмическую амплитудную)характеристики

Составление дифференциального уравнения элемента

В соответствии с законами линейных электрических цепей записываем следующие уравнения:

r i+ u_c = e ; (2.41)

(2.42)

Подставляя значение тока i из выражения (2.42) в уравнение (2.41) получаем дифференциальное уравнение

(2.43)

Подставляя параметры r и c четырехполюсника (рис. 2.15) в уравнение (2.43) получаем искомое дифференциальное уравнение элемента

(2.44)

Нахождение переходной функции элемента

Полагаем входной сигнал четырехполюсника равным единичному ступенчатому воздействию e = 1(t). Тогда его выходной сигнал будет равен переходной функции u_c = h(t).

Учитывая сказанное в уравнении (2.44), приводим его к виду:

1(t). (2.45)

Вынужденную составляющую переходной функции находим из уравнения (2.45), полагая в нем производную dh(t) /dt)= 0,

Составляем характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2.45)

Корень характеристического уравнения

Свободную составляющую переходной функции находим по выражению (2.21) при n = 1 и p₁ =-10

(2.48)

Находим переходную функцию, суммируя ее вынужденную (2.46) и свободную (2.48) составляющие,

h(t) = h_в(t) + h_с(t) = (2.49)

Из уравнения (2.49) при нулевых начальных условиях (h(0) = 0 ) определяем коэффициент

Подставляя значение этого коэффициента в выражение (2.49), находим искомую переходную функцию элемента

(2.50)

График переходной функции элемента приведен на рис. 2.15.

Рис. 2.15. График переходной функции элемента

Нахождение передаточной функции элемента

В дифференциальном уравнении (2.44) степени полиномов правой и левой частей соответственно m = 0и n = 1. Тогда коэффициенты этого уравнения b₀ = 1; a₀ = 0,1; a₁ = 1.

При этих коэффициентах по выражению (2.30) находим искомую передаточную функцию элемента

(2.51)

Нахождение передаточного коэффициента элемента

Искомый передаточный коэффициент элемента находим по выражению (2.31) при b₀ = 1и a₁ = 1

(2.52)

или из выражения (2.51) при p=0

(2.53)

Определение частотных характеристик элемента

Амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) элемента находим из выражения (2.38) путем подстановки в него передаточной функции (2.51) при p = jw :

(2.54)

Вид АФЧХ на комплексной плоскости приведен на рис. 2.16, а.

Из выражения (2.54) находим действительную и мнимую частотные характеристики

(2.55)

(2.56)

Подставляя значения этих характеристик в выражения (2.39) и (2.40), находим искомые выражения соответственно для амплитудной и фазовой частотных характеристик:

(2.57)

(2.58)

Графики амплитудной и фазовой частотных характеристик приведены на рис. 2.16, б,в.

Гр

Рис. 2.16. Частотные характеристики элемента

а – амплитудно – фазовая, б – амплитудная, в – фазовая.

ХАРАКТЕРИСТИКИ И МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ АСУ

Вы узнаете:

· Что такое типовые динамические звенья.

· Как классифицируются типовые динамические звенья.

· Какие динамические модели инерционных статических объектов управления применяются в ТАУ.

Что такое типовые динамические звенья?

Функциональные элементы, используемые в АСУ, могут иметь самые различные конструктивное выполнение и принципы действия. Однако общность математических выражений, связывающих входные и выходные величины различных функциональных элементов, позволяет выделить ограниченное число так называемых типовых алгоритмических звеньев. Каждому типовому алгоритмическому звену соответствует определенное математическое соотношение между входной и выходной величинами. Если это соотношение является элементарным (например, дифференцирование, умножение на постоянный коэффициент), то и звено называется элементарным.

Алгоритмические звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, получили название типовых динамических звеньев.

Типовые динамические звенья являются основными составными частями алгоритмических схем непрерывных АСУ, поэтому знание их характеристик существенно облегчает анализ таких систем.

Классификация типовых динамических звеньев

Классификацию типовых динамических звеньев удобно осуществить, рассматривая различные частные формы дифференциального уравнения

. (3.1)

Значения коэффициентов уравнения (3.1) и названия для наиболее часто применяемых звеньев приведены в табл. 3.1.

Значения коэффициентов уравнения (3.1)

Источник