Как вывести уравнение теплопроводности

Электронная библиотека

Рассмотрим однородный стержень (под стержнем в механике понимается тело с одним превалирующим линейным размером, например, столб можно рассматривать как стержень с переменным сечением) постоянного поперечного сечения S и длины l, теплоизолированный с боков, ось которого примем за ось Ох (рис. 4.3). Обозначим через U(x,t) температуру стержня в сечении с абсциссой х в момент времени t (предполагается, что во всех точках любого поперечного сечения стержня температура одна и та же.

Пусть – плотность стержня, – его удельная теплоемкость (это количество калорий, которое необходимо, чтобы единицу массы стержня нагреть на 1 ºС), – коэффициент теплопроводности (он представляет собой количество тепла в калориях, которое будет протекать за единицу времени через сечение стержня, если температура стержня падает на 1 ºС при перемещении вдоль стержня на единицу длины), – интенсивность теплового источника, находящегося в сечении х для момента t, отнесенная к единице массы и единице времени (т.е. количество тепла, создаваемого этим источником тепла за единицу времени и приходящегося на единицу массы; например, лампочку включенную в помещении, аппаратуру, работающую на космическом корабле и др. можно рассматривать как источники тепла;). Температуру же U(x, 0) стержня в начальный момент времени мы считаем известной и обозначим её через :

Тепловой режим на концах стержня может быть весьма разнообразен, т.е. температура может быть и постоянной, и изменяться, например, по законам: и др.). Мы рассмотрим два случая:

1) концы стержня поддерживаются при постоянной нулевой температуре:

2) концы стержня находятся в той же теплоизолирующей оболочке, что и весь стержень. Это означает, что через концы не происходит протекание тепла.

Рассмотрим сечение х нашего стержня и найдем, какое количество Q тепла протечет (слева направо) через это сечение за элементарный промежуток времени . В момент t температура стержня в точке х будет равна . Возьмем отличную от точки х точку x + dx стержня (пусть для определенности dx > 0) согласно закону Фурье количество тепла, протекающего в направлении оси Ох за бесконечно малый промежуток времени dt через сечение S с абсциссой х, будет:

где k – коэффициент теплопроводности ( представляет здесь величину градиента температуры U). Во формуле (4.37) стоит знак минус, так как при , т.е. при росте U вместе с х, поток тепла направлен в противоположную сторону, и наоборот).

Составим тепловой баланс для элемента , заключенную между бесконечно близкими сечениями х и x + dx. Предположим для определенности, что U возрастает в направлении Ох.

Тогда через сечение с абсциссой х тепло выходит, а через сечение с абсциссой x + dx входит. Пусть dQ есть количество тепла, накопленное нашим элементом за время dt. Тогда количество тепла, созданное за dt источниками тепла в элементе равно:

Используя формулу (4.37) будем иметь:

Применяя формулу Лагранжа из дифференциального исчисления с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости, получим:

Следовательно, формула (4.39) примет вид:

С другой стороны, есть скорость изменения температуры элемента , и поэтому представляет собой изменение его температуры. Так как масса элемента равна , то накопленное при этом количество тепла будет:

Итак, сравнивая (4.41) и (4.40), после сокращения получим:

или, обозначая (величина а называется коэффициентом температуропроводности), окончательно получим дифференциальное уравнение, описывающее распределение температуры U(x,t) в стержне и носит название уравнения теплопроводности:

Если источники тепла отсутствуют, то уравнение (4.43) принимает вид уравнения свободного теплообмена в стержне:

Аналогичным образом можно вывести уравнения для распространения температуры в пластине:

где – оператор Лапласа (см. разд. 1.4.6).

Вывод: уравнение теплопроводности есть уравнение с частными производными второго порядка, параболического типа, так как ; в процессе вывода уравнения теплопроводности мы пришли к двум математическим задачам:

1) Найти то решение уравнения (4.44), которое удовлетворяет начальному условию (4.35) и граничным условиям (4.36).

2) Найти то решение уравнения (4.44), которое удовлетворяет начальному условию (4.35) и граничным условиям:

т.е. когда концы стержня теплоизолированы (количество тепла, протекающее через них, равно нулю).

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Источник

уравнение теплопроводности. поток тепла. коэффициенты теплопроводности и температуропроводности. Начальное условие

ЧАСТЬ 2. ТЕПЛОМАССООБМЕН Тема 9. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

9.1.Основные понятия и определения

Теория теплопередачи, или теплообмена, представляет собой учение о процессах распространения теплоты в пространстве с неоднородным полем температур.

Существуют три основных вида теплообмена: теплопроводность, конвекция и тепловое излучение.

Теплопроводность — это молекулярный перенос теплоты между непосредственно соприкасающимися телами или частицами одного тела с различной температурой, при котором происходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, свободных электронов).

Конвекция осуществляется путем перемещения в пространстве неравномерно нагретых объемов среды. При этом перенос теплоты неразрывно связан с переносом самой среды.

Тепловое излучение характеризуется переносом энергии от одного тела к другому электромагнитными волнами.

Часто все способы переноса теплоты осуществляются совместно. Например, конвекция всегда сопровождается теплопроводностью, так как при этом неизбежно соприкосновение частиц, имеющих различные температуры.

Совместный процесс переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью называется конвективным теплообменом. Частным случаем конвективного теплообмена является теплоотдача — конвективный теплообмен между твердой стенкой и движущейся средой. Теплоотдача может сопровождаться тепловым излучением. В этом случае перенос теплоты осуществляется одновременно теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением.

Многие процессы переноса теплоты сопровождаются переносом вещества — массообменном, который проявляется в установлении равновесной концентрации вещества.

Совместное протекание процессов теплообмена и массообменна называетсятепломассообменном.

Теплопроводность определяется тепловым движением микрочастиц тела. В чистом виде явление теплопроводности наблюдается в твердых телах, неподвижных газах и жидкостях при условии невозможности возникновения в них конвективных токов.

Передача теплоты теплопроводностью связана с наличием разности температур тела. Совокупность значений температур всех точек тела в данный момент времени называется температурным полем. В общем случае уравнение температурного поля имеет вид:

(9.1)
где t — температура тела; х, у, z — координаты точки; τ — время. Такое температурное поле называется нестационарным и отвечает неустановившемуся режиму теплопроводности. Если температура тела не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным. Тогда

, (9.2)

Температура может быть функцией одной, двух и трех координат, соответственно температурное поле будет одно-, дву- и трехмерным. Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля:

; ;

Если соединить все точки тела с одинаковой температурой, то получим поверхность равных температур, называемую изотермической. Так как в определенной точке тела в данный момент времени может быть только одна температура, изотермические поверхности не пересекаются; все они либо замыкаются на себя, либо заканчиваются на границе тела. Пересечение изотермных поверхностей плоскостью дает на ней семейство изотерм. Интенсивность изменения температуры в каком-либо направлении характеризуется производной , принимающей наибольшее значение в направлении нормали к изотермической поверхности (9.3)

Вектор называется температурным градиентом и является мерой интенсивности изменения температуры в направлении по нормали к изотермной поверхности. Направлен он в сторону возрастания температуры.

Согласно гипотезе Фурье, количество теплоты d 2 Q_τ, проходящее через элемент изотермической поверхности dF за промежуток времени dτ, пропорционально температурному градиенту : (9.4)

Здесь множитель λ называется коэффициентом теплопроводности. Знак минус указывает на то, что теплота передается в направлении уменьшения температуры. Количество теплоты, прошедшее в единицу времени через единицу изотермической поверхности, называется плотностью теплового потока:

(9.5)

Проекции вектора q на координатные оси соответственно:

Уравнения (9.4) и (9.5) являются математическим выражением основного закона теплопроводности — закона Фурье.

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через изотермическую поверхность F, называется тепловым потоком: (9.6)

Полное количество теплоты, прошедшее через эту поверхность за время τ, определится из уравнения (9.7)

Коэффициент теплопроводности является физическим параметром вещества, характеризующим его способность проводить теплоту. Коэффициент теплопроводности определяется из уравнения (9.4):

(9.8)

Численно коэффициент теплопроводности равен количеству теплоты, проходящему в единицу времени через единицу изотермической поверхности при условии gradt=1. Его размерность Вт/(м·К). Значения коэффициента теплопроводности для различных веществ определяются из справочных таблиц, построенных на основании экспериментальных данных. Для большинства материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры приближенно можно выразить в виде линейной функции

(9.9)

где λ₀ — значение коэффициента теплопроводности при температуре t₀=0 0 С; b — постоянная, определяемая опытным путем.

Наихудшими проводниками теплоты являются газы. Коэффициент теплопроводности газов возрастает с увеличением температуры и составляет 0,006÷0,6 Вт/(м·К). Следует отметить, что верхнее значение относится к гелию и водороду, коэффициент теплопроводности которых в 5—10 раз больше, чем у других газов. Коэффициент теплопроводности воздуха при 0 0 С равен 0,0244 Вт/(м·К).

Для жидкости λ=0,07÷0,7 Вт/(м·К) и, как правило, уменьшается с увеличением температуры. Коэффициент теплопроводности воды с увеличением температуры возрастает до максимального значения 0,7 Вт/(м·К) при t=120 0 С и дальше уменьшается.

Наилучшими проводниками теплоты являются металлы, у которых λ=20÷418 Вт/(м·К). Самый теплопроводный металл — серебро. Для большинства металлов коэффициент теплопроводности убывает с возрастанием температуры, а также при наличии разного рода примесей. Поэтому коэффициент теплопроводности легированных сталей значительно ниже, чем чистого железа.

Материалы с λ 2 ·К). Коэффициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемому или воспринимаемому единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в один градус. Этот коэффициент учитывает все особенности явлении теплообмена, происходящие между поверхностью тела и окружающей средой. Плотность теплового потока, передаваемого от поверхности тела в окружающую среду, (9.14)

Согласно закону сохранения энергии, эта теплота равна теплоте, подводимой к поверхности изнутри тела путем теплопроводности:

Переписав последнее уравнение в виде:

(9.15)

получаем математическую формулировку граничных условий третьего рода. В результате решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье — соответствующие тепловые потоки.

9.4.3.Теплопроводность через плоскую стенку при граничных условиях первого рода

Рис. 9.2. Однородная плоская стенка

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной δ (рис. 9.2). На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t_с1 и t_с2. Коэффициент теплопроводности стенки постоянен и равен λ. При стационарном режиме ( ) и отсутствии внутренних источников теплоты (q_v=0) дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид: (9.16)

При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки (ось Оx). В этом случае и дифференциальное уравнение теплопроводности перепишется в виде:

(9.17) Граничные условия первого рода запишутся следующим образом: при x=0 t=t_c1; при x=δ t=t_c2. Интегрируя уравнение (9.17), находим

После второго интегрирования получаем (9.18)

Постоянные С₁ и С₂ определим из граничных условий: при x=0 t=t_c1, С₂=t_c1; приx=δ t=t_c2=С₁·δ+t_c1, отсюда . Подставляя значения С₁ и С₂ в уравнение (9.18), получим уравнение распределения температуры по толщине стенки: (9.19)

Для определения плотности теплового потока, проходящего через стенку в направлении оси Оx, воспользуемся законом Фурье, согласно которому .

Учитывая, что , получим (9.20)

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки F за время τ,

(9.21) Отношение называют тепловой проводимостью стенки, обратную ей величину — термическим сопротивлением теплопроводности. Поскольку величина λзависит от температуры, в уравнения (9.20), (9.21) необходимо подставить коэффициент теплопроводности λ_с, взятый при средней температуре стенки.

ТЕПЛОВОЙ ПОТОК — количество теплоты, переданное через изотермическую поверхность в единицу времени.

Т.П.количество теплоты, переданное через изотермическую поверхность в единицу времени. РазмерностьТ. п. совпадает с размерностью мощности (См. Мощность). Т. п. измеряется в Ваттахили ккал/ч (1 вт = 0,86ккал/ч).Т. п., отнесённый к единице изотермической поверхности, называется плотностью Т. п., удельным Т.п. или тепловой нагрузкой; обозначается обычно q, измеряется в вт/м 2 или ккал/(м 2 ․ч). Плотность Т. п. —вектор, любая компонента которого численно равна количеству теплоты, передаваемой в единицу временичерез единицу площади, перпендикулярной к направлению взятой компоненты.

Температуропроводность (коэффициент температуропроводности) — физическая величина, характеризующая скорость изменения (выравнивания)температуры вещества в неравновесных тепловых процессах. Численно равна отношению теплопроводности к объёмной теплоёмкости при постоянномдавлении, в системе СИ измеряется в м²/с.

где — температуропроводность, — теплопроводность, — изобарная удельная теплоёмкость, ρ — плотность

Температуропроводность и теплопроводность являются двумя из наиболее важных параметров веществ и материалов, поскольку они описывают процесс переноса теплоты и изменение температуры в них.

Величина коэффициента температуропроводности зависит от природы вещества. Жидкости и газы обладают сравнительно малой температуропроводностью. Металлы, напротив, имеют бо́льший коэффициент температуропроводности.

Коэффициент температуропроводности в тепловых процессах характеризует скорость изменения температуры. [2]

Коэффициент температуропроводности ( а) — служит мерой скорости, с которой пористая среда передает изменение температуры с одной точки в другую. [3]

Коэффициент температуропроводности характеризует скорость выравнивания температуры ( тепловую инертность) тела и по аналогии с коэффициентом диффузии, с которым он имеет одинаковую размерность, иногда называется коэффициентом тепловой диффузии. [4]

Вывод уравнения теплопроводности:

Рассмотрим задачу о распространении тепла в неревномерно нагретом твердом теле. В качестве величины, характеризующей процесс, возьмем температуру u(M,t), где M = M(x,y,z) — некоторая точка внутри рассматриваемого тела.

Посмотреть определения потока и дивергенции векторного поля

1) Будем рассматривать процесс распространения тепла посредством теплопроводности (т.е. при непосредственном контакте областей с разной температурой).

2) Для теплообмена посредством теплопроводности необходимо наличие ненулевого температурного градиента, т.е. различные части тела должны иметь разную температуру. При этом, так как каждая система стремится к своему равновесному состоянию, происходит переток тепла от более «нагретых» частей тела к более «холодным».

3) Для математического описания полей тепловых потоков введем в рассмотрение вектор плотности теплового потока , имеющий направление от более «горячих» участков тела к более «холодным», а по величине равный количеству тепла, проходящему через единицу поверхности за единицу времени: .

4) В основе аналитической теории теплопроводности лежит экспериментально установленный закон Фурье, согласно которому , где λ — коэффицент теплопроводности среды (равен количеству тепла, переносимого в единицу времени через единицу поверхности при градиенте температуры , равном единице).

5) Будем считать, что наше изучаемое тело изотропно, т.е. λ = λ(x,y,z) и не зависит от выбора нормали к поверхности; .

6) По определению потока для вектора можем записать .

При этом получим: если тело отдает тепло, то ; если получает, то . Условимся в дальнейшем для определенности считать поток теплаdQ_s, направленный внутрь тепла положительным. Для этого в определение потока введем знак «-» (минус). Тогда элементарный поток через поверхность dS за времяdt: , и через всю поверхность S, ограничивающую объем Sза время .

(1)

7) Предположим, что внутри нашего объема есть источники тепла. Обозначим через F(M,t) — плотность тепловых источников (количество тепла, выделяемое в единице объема за единицу времени). Тогда во всем объеме V за время выделится Q_V количества тепла: [для элементарного объема dV выделяемое количество тепла dQ_V = F(M,t)dVdt]:

(2) .

8) В соответствии с 1 м началом термодинамики тепло, получаемое системой идет на изменение ее температуры и на совершение этой системой работы: Q = Cdu + δA. Будем считать, что δA= 0 (для твердых тел).

du — изменение температуры за время в точке М: (по теореме о конечных приращениях).

C — теплоемкость объема V, может быть расписана через удельную теплоемкость с, плотность вещества p и объем V: C_dV = c(M)r(M)dV — для элементарного объема dV. Тогда

(3) — для объема V.

В наш выделенный объем тепло δQ поступает за счет 2 x механизмов: переноса тепла через поверхность, и возникновения тепла за счет работы источников).

Подставим (1), (2), (3):

Применим теорему о среднем значении (дважды: по t и по V) к каждому из этих интегралов:

Поделим полученное соотношение на ( ) и перейдем к пределу при , так как t₁ — любое время (могли вместо t₁ и t₂ взятьt и ); получим уравнение, описывающее изменение температуры в любой точке М в любое время t.

(1) или

— уравнение теплопроводности.

Если среда однородна, то λ,c,p — const и λ можно вынести из под функции div,и, поделив на (cp), получим:

(1a) , так как , то

(1б) — уравнение теплопроводности для однородной среды.

Если , то уравнение будет однородным.

Рассмотрим теперь дополнительные условия, необходимые для однозначного решения задачи:

а) Необходимо знать начальное распределение температуры:

б) Тепловой режим на границе. Основные виды тепловых режимов:

I. — на границе поддерживается определенная температура

II. — через границу подается определенный тепловой поток

III. — происходит теплообмен с внешней средой, температура которой известна.

Разберем более подробно каждый из типов:

II. Обозначим через ν(P,t) — плотность теплового потока на границе S. (Количество тепла, проходящего через единицу площади за единицу времени).

Пусть σ — произвольный участок поверхности S, ограниченный замкнутой гладкой кривой.

Рассмотрим объем V в виде прямого цилиндра с основаниемσ и высотой h; второе основание — σ ₁ — есть поверхность параллельная σ ( ).

Для записи 1 го начала термодинамики (закон сохранении энергии):

;

при интегралы по V, а также интеграл по , при этом так как и .

Применяя дважды теорему о среднем (по t и по σ), устремляя , получаем:

(3б)

Если поверхность S теплоизолирована (ν = 0):

III. Будем считать, что теплообмен между телом и окружающей средой происходит по закону Ньютона: плотность теплового потока ν(P,t), получаемого из внешней среды, пропорциональна разности температуры окружающей среды θ(t) и температуры u внутри V вблизи поверхности S.

Таким образом, мы имеем случай II, где ν(P,t) имеем специфический вид (*), т.е. ;

(3в) .

В случае, если температура окружающей среды θ(t) = 0, получим однородное граничное условие 3 го рода: .

Таким образом, мы приходим к задаче: найти решение уравнения теплопроводности (1), удовлетворяющее нормальным условиям (2) и одному из граничных условий (3). Совершенно аналогично ставятся задачи в одномерном и двумерном случаях. Для уравнения (1) можно также поставить задачу Коши (т.е. задачу без граничных условий)

Замечание: к уравнению (1) приводятся и другие физические задачи: уравнение диффузии, движение вязкой жидкости.

2.1. Метод разделения переменных для конечного стержня

Уравнение теплопроводности относится к уравнениям параболического типа.

Уравнение теплопроводности имеет вид:

— температура стержня в точке в момент времени ,
— связано с коэффициентами теплоемкости и теплопроводности.

Рассмотрим однородный стержень длины , теплоизолированный с боков и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой (см. рисунок 1).

Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия. Для задач этого типа задается только одно начальное условие, а именно, начальная температура в начальный момент времени. Итак,

(1)

(2) (3)

где -начальное распределение температуры в стержне.

Концы стержня закреплены в термостате. В данном случае тепловая энергя стержня не сохраняется, так как система не является изолированной.

Будем искать решение в виде произведения двух функций

где X(x)- функция только переменного x,
а T(t)- функция только переменного t.

, так как левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x. Отсюда следует, что

Граничные условия (3) дают:
X(0)=0 , X( )=0,
тогда

(4) (5) (6)

Необходимо определить знак .

1 случай: Пусть .
Рассмотрим уравнение (4):
.
Характеристическое уравнение имеет вид:
.

Рассмотрим уравнение (5):
.
Характеристическое уравнение имеет вид:

(7)

Это решение не подходит, так как если ,то , а поэтому нарушается второй закон термодинамики, то есть происходит передача энергии от холодного к горячему. Докажем это математически, подставив начальные условия (6) в (7):

Значит или , но тогда мы получаем тривиальное решение и не можем удовлетворить начальным условиям. Следовательно, при уравнение (1) имеет только нулевое решение.

2 случай: Пусть , тогда

, следовательно, .
, следовательно, .
Подставим краевые условия
, получим .
В итоге получим нулевое решение , а значит не подходит.

3 случай: Пусть и , тогда

Характеристическое уравнение имеет вид:

Общее решение может быть записано в виде:

(8)

Подставим краевые условия.
.
Получаем

(9)

Существуют нетривиальные решения уравнения (5), равные

(10)

Этим значениям соответствуют решения уравнения (4)
,
где — неопределенный пока коэффициент.

— общее решение.

Удовлетворим начальным условиям (2):
.
Для выполнения этого начального условия необходимо взять в качестве коэффициент Фурье:

.
Для получения ответа необходимо подставить указанный коэффициент в общее решение задачи.

Уравнение теплопроводности для бесконечного стержня

Рассмотрим задачу с начальными данными на бесконечной прямой. А именно, найдем ограниченную функцию, определенную в области , удовлетворяющую уравнению теплопроводности