Как вывести квадрат суммы

Квадрат суммы: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, квадрат суммы. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формула квадрата суммы

Квадрат суммы слагаемых a и b равняется квадрату a плюс удвоенное произведение a и b плюс квадрат b .

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Выражение может быть представлено и в обратном порядке:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2

Доказательство формулы

Арифметическое

Представим формулу в виде произведения двух одинаковых скобок (другими словами, умножим выражение на само себя):
(a+b)(a+b) .

Теперь раскроем скобки согласно арифметическим правилам и получаем:
(a+b)(a+b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Геометрическое

Для того, чтобы доказать формулу геометрически, изобразим квадрат, который поделен с помощью двух отрезков на четыре части таким образом, что получились:

• два квадрата с разной длиной стороны ( a или b );
• 2 прямоугольника с одинаковой длиной ( a ) и шириной ( b ).

Площадь большого квадрата равна (a + b) 2 и, одновременно, сумме площадей фигур, из которых состоит:

S_кв. = (a + b) 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Примеры задач

Задание
Чему равен квадрат суммы (2x + 4y 3 ) 2 ?

Решение
Воспользуемся формулой сокращенного умножения:
(2x + 4y 3 ) 2 = (2x) 2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 4y 3 + (4y 3 ) 2 = 4x 2 + 16xy 3 + 16y 6

Примечание:
Формулу можно использовать для быстрых расчетов в уме, например:

• 63 2 = (60 + 3) 2 = 60 2 + 2 ⋅ 60 ⋅ 3 + 3 2 = 3600 + 360 + 9 = 3969.
• 94 2 = (90 + 4) 2 = 90 2 + 2 ⋅ 90 ⋅ 4 + 4 2 = 8100 + 720 + 16 = 8836.

Источник

Квадрат суммы и разности

Квадрат суммы

Выражение (a + b) 2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

Многочлен a 2 + 2ab + b 2 называется разложением квадрата суммы.

Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Пример. Возвести в квадрат выражение 3x 2 + 2xy.

Решение: Чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:

Квадрат разности

Выражение (a — b) 2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a — b) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a — b)(a — b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

Многочлен a 2 — 2ab + b 2 называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:

Решение: Используя формулу квадрата разности, находим:

(2a 2 — 5ab 2 ) 2 = (2a 2 ) 2 — 2(2a 2 · 5ab 2 ) + (5ab 2 ) 2 .

Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

(2a 2 ) 2 — 2(2a 2 · 5ab 2 ) + (5ab 2 ) 2 = 4a 4 — 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4 .

Разность квадратов

Выражение a 2 — b 2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a 2 — b 2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

(5a 2 + 3)(5a 2 — 3) = (5a 2 ) 2 — 3 2 = 25a 4 — 9.

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть, нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо, и справа налево, в зависимости от ситуации.

Источник

Как использовать квадрат суммы

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители — применение формул сокращённого умножения.

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Применение квадрата суммы для разложения многочлена на множители

Вспомним, как выглядит формула квадрата суммы.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Важно помнить, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2

Рассмотрим многочлен. Требуется разложить его на множители, используя формулу квадрата суммы.

Обратите внимание, что многочлен « z 2 + 2zx + x 2 » напоминает правую часть формулы « a 2 + 2ab + b 2 » , только вместо « a » стоит « z », а на месте « b » стоит « x ».

Используем для многочлена « z 2 + 2zx + x 2 » формулу квадрата суммы.

Рассмотрим другой пример. Необходимо возвести в квадрат многочлен.

Используем формулу квадрата суммы. Только вместо « a » у нас будет « 3x », а вместо « b » — « 2y ».

Часто возводят многочлен в квадрат следующим образом:

Это неверно! Для возведения многочлена в квадрат необходимо использовать формулу сокращенного умножения: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Рассмотрим пример сложнее. Требуется разложить многочлен на множители.

В этом многочлене не так очевидно, что будет являться в формуле « a 2 », « 2ab », а что « b 2 ». Представим многочлен в виде « a 2 + 2ab + b 2 ».

После необходимых преобразований видно, что в многочлене « 25а 6 + 30а 3 b + 9b 2 » на месте « a » стоит « 5a 3 », а на месте « b » — « 3b ». Используем формулу квадрата суммы и решим пример до конца.

Источник

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго.

Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство «читается» как слева направо, так и справа налево, то верно и обратное равенство. Проверим равенство (1), для этого умножим двучлен $a+b$ на себя: $(a+b)(a+b)=a^<2>+a b+b a+a^<2>=a^<2>+2 a b+b^<2>$.

Задание. Раскрыть скобки $\left(10 y^<2>+3 x\right)^<2>$

Решение. Решение проведем в два этапа, первый — возведем в квадрат по определению, то есть умножим выражение $10 y^<2>+3 x$ на себя; второй — используем формулу сокращенного умножения «квадрат суммы».

1. По определению:

$\left(10 y^<2>+3 x\right)^<2>=\left(10 y^<2>+3 x\right)\left(10 y^<2>+3 x\right)=10 y^ <2>\cdot 10 y^<2>+10 y^ <2>\cdot 3 x+3 x \cdot 10 y^<2>+3 x \cdot 3 x=$

$=100 y^<4>+30 x y^<2>+30 x y^<2>+9 x^<2>=100 y^<4>+60 x y^<2>+9 x^<2>$

2. Используя формулу сокращенного умножения:

$\left(10 y^<2>+3 x\right)^<2>=\left(10 y^<2>\right)^<2>+2 \cdot 10 y^ <2>\cdot 3 x+(3 x)^<2>=100 y^<4>+60 x y^<2>+9 x^<2>$

Как видно, использование формулы сокращенного умножения привело к более быстрому решению.

Применение данной формулы также позволяет производить некоторые вычисления в уме, например, возводить в квадрат большие числа:

$81^<2>=(80+1)^<2>=80^<2>+2 \cdot 80 \cdot 1+1^<2>=6400+160+1=6561$

$82^<2>=(80+2)^<2>=80^<2>+2 \cdot 80 \cdot 2+2^<2>=6400+320+4=6724$

Геометрическая интерпретация

Формулу квадрата суммы двух положительных чисел $a$ и $b$ можно изобразить геометрически (рисунок).

Рассмотрим квадрат со стороной $a+b$, его площадь равна $(a+b)^<2>$. В двух углах рассматриваемого квадрата построим квадраты со сторонами $a$ и $b$. Площади полученных квадратов равны соответственно $a^<2>$ и $b^<2>$.

Большой начальный квадрат, разделен на четыре части: два квадрата (площади указаны выше) и два прямоугольника, каждый площадью $a b$. Тогда получаем, что

Квадрат нескольких слагаемых задается формулой:

Источник

Квадрат суммы и квадрат разности — формулы, правило квадрата и примеры решения

Для успешного решения математических задач часто бывает необходимо уметь преобразовывать созданные выражения. Для этого применяют базовые знания, формулы сокращённого умножения, в том числе, квадрат суммы и квадрат разности.

Они помогают упрощать громоздкие записи, более рационально подходить к приведению дробей к одному знаменателю, решению уравнений и задач по геометрии, тригонометрии, математическому анализу, физике, химии, экономическим дисциплинам и многим другим наукам.

Поэтому среди многих разделов математики школьная алгебра занимает базовую приоритетную позицию, дающую основы вычислений для смежных предметов.

Формула квадрата разности

Для получения формулы применяют правило умножения многочлена на многочлен: нахождение суммы произведений каждого слагаемого одной скобки на каждое слагаемое второй скобки, учитывая, что квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного:

Если запомнить правило, то необходимость постоянно прописывать эту цепочку равенств исчезает.

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов каждого из выражений без их удвоенного произведения:

Примеры задач с решением

Задача №1

Требуется возвести в квадрат разность (8x — 3y).

При использовании формулы получается:

Ответ: 64x 2 — 48xy + 9y 2 .

Задача №2

b 2 + 49 — (b — 7) 2

Формула квадрата суммы и неполного квадрата суммы

Также легко, как и в предыдущем случае, выводится эта формула:

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов каждого из них плюс их удвоенное произведение:

Многие школьники, начинающие знакомиться с этим материалом, часто теряют двойку во втором слагаемом правой части, получая

Однако, в этом случае, возникает неполный квадрат суммы (или разности), который на множестве действительных чисел не раскладывается на множители.

Обе формулы применяются не только для раскрытия скобок, но и для разложения на множители, что в свою очередь упрощает приведение к одному знаменателю, сокращение дробей, решение уравнений высоких степеней.

Примеры задач с решением

Задача №3

Преобразовать трёхчлен в квадрат двучлена:

28xy + 49x 2 + 4y 2

Поскольку квадраты находятся на втором и третьем местах, поменяем слагаемые между собой и подготовим выражение для применения формулы:

Возведение во вторую степень суммы трёх и более слагаемых выполняется аналогично: необходимо возвести в квадрат каждый элемент, записать все возможные удвоенные произведения и сложить полученные результаты.

Правила возведения в степени более высоких порядков возникают, когда выполняется умножение одинаковых многочленов несколько раз.

Возможность выполнять возведение в квадрат больших чисел, не используя калькулятор, является одним из преимуществ сокращённого умножения.

Задача №4

Выполнить раскрытие скобок и упростить:

(x 2 + 3x — 4y) 2 — x 4 — 9x 2 — 16y 2

Ответ: 6x 3 — 8x 2 — 24xy.

Задача №5

Для каждого слагаемого применяется одно из правил возведения в квадрат, затем производится суммирование результатов:

Решая квадратные уравнения, вместо поиска дискриминанта выделяют полный (точный) квадрат среди слагаемых, расположенных в левой части. В правую сторону собираются оставшиеся элементы.

Задача №6

Первые два слагаемых левой части полностью удовлетворяют формуле квадрата суммы. Соотнеся их с соответствующими элементами правила, определяют, прибавляют и вычитают третье, затем сворачивают в точный квадрат, остальные члены алгебраической суммы переносят в правую сторону:

Решениями исходного уравнения являются корни уравнений

Ответ: x = 5 или x = -1.

Разность квадратов

Ещё одной формулой сокращённого умножения является разность квадратов. Она получается при умножении суммы двух выражений на их разность.

Читается справа налево.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму:

Применение последней записи справа налево есть раскрытие скобок более удобным способом, чем простое умножение многочленов.

Разложение на множители позволяет судить о наличии целых или натуральных корней квадратного уравнения.

Пример задачи с решением

Задача №7

В числителе записан квадрат разности, а в знаменателе – разность квадратов двух выражений. Применяя соответствующие формулы, получается искомый результат:

В большинстве случаев разницы, как сворачивать квадрат двучлена, не существует. Однако в данной ситуации, благодаря выражению в знаменателе, на первое место лучше поставить

Онлайн калькуляторы помогают выполнять преобразования. Однако, поскольку формулы сокращённого умножения являются базовым материалом школьного курса, то лучше не просто получить результат, но и понять, каким образом к нему пришли.

Источник