Урок геометрии в 11-м классе: «Объём пирамиды»
Разделы: Математика
Цели и задачи урока:
- вывести формулы: объема пирамиды с использованием основной формулы объема тел и объема усеченной пирамиды.
- систематизировать теоретические знания по теме нахождения объема пирамиды.
- сформировать навык нахождения объема пирамиды, у которой вершина проецируется в центр вписанной или описанной около основания окружности.
- выработать навыки решения типовых задач на применение формул объемов пирамиды и усеченной пирамиды.
Ход урока
I. Объяснение нового материала.
Доказательство теоремы выполняется с помощью мультимедийного проектора
Докажем теорему: объем пирамиды равен одной трети, произведения площади основания на высоту.
Сначала докажем теорему для треугольной пирамиды, затем для произвольной.
1. Рассмотрим треугольную пирамиду ОАВС с объемом V, площадью основания S и высотой h . Проведем ось ох (ОМ2 — высота), рассмотрим сечение А1В1С1 пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу точки М1пересечения этой плоскости с осью ох, а через S<x) — площадь сечения. Выразим S(x) через S, h и х . Заметим, что 
В самом деле 
, следовательно, 
.
Прямоугольные треугольники 
, тоже подобны (они имеют общий острый угол с вершиной О).
Применим теперь основную формулу для вычисления объемов тел при a = 0, b = h получаем
2. Докажем теперь теорему для произвольной пирамиды с высотой h и площадью основания S . Такую пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой h. Выразим объем каждой треугольной пирамиды по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель 
, получим в скобках сумму оснований треугольных пирамид, т.е. площадь S оснований исходной пирамиды.
Таким образом, объем исходной пирамиды равен 
. Теорема доказана.
II. решить задачи по готовым чертежам .
Задача 1. (рис. 3)
Дано: АВСD – правильная пирамида, АВ =3; AD= 
. Найти: а)Sосн; б) АО; в) DO г) V.
Задача 2. (рис. 4)
Дано: АВСDF – правильная пирамида, 
.
Задача 3. (рис. 5)
Дано : АВСDEKF – правильная пирамида, 
Задача 4. (рис. 6)
Проверка задач выполняется с помощью мультимедийного проектора с подробным анализом поэтапного решения.
Задача 1. (рис. 3)
а) 
(используется формула для вычисления площади правильного треугольника)
АВ = 
= 3, имеем 
б) 
(формула радиуса описанной окружности через сторону правильного треугольника) 
.
Задача 2. (рис. 4)
1) Рассмотрим 
следовательно,
– равнобедренный, ОС = FО = 2.
Задача 3. (рис. 5)
Задача 4. (рис. 6)
III. Проверка вывода формулы для вычисления объема усеченной пирамиды (сообщение ученика у доски выполняется с помощью мультимедийного проектора)
Объем усеченной пирамиды рассматриваем как разность объемов полной пирамиды и той, что отсечена от нее плоскостью, параллельной основанию (рис. 1).
Подставим это выражение для х в первую формулу,
Pабота в форме теста, с проверкой через мультимедийный проектор.
1.В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение — прямоугольный треугольник с катетами: 4 см и 3 см. найдите объем призмы.
а) 10 см 3 , б) 42 см 3 , в) 60 см 3 , г) 30 см 3 .
2. В правильной шестиугольной пирамиде сторона ее основания 2 см. Объем пирамиды равен 6 см 3 . Чему равна высота?
3. Объем пирамиды равен 56 см 3 , площадь основания 14 см 2 . Чему равна высота?
а) 14 см, б) 12 см, в) 16 см.
4. В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см. Чему равен объем пирамиды?
5. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. найдите объем пирамиды.
а) 50 см 3 , б) 48 см 3 , в) 16 см 3 .
6. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см 3 , высота 9 см. найти сторону основания.
а)12 см, б) 9 см, в) 3 см.
7. Объем усеченной пирамиды равен 210 см 3 , площадь нижнего основания 36 см 2 , верхнего 9 см 2 . Найдите высоту пирамиды.
а) 1см, б) 15 см, в) 10см.
8. Равновеликие призма и правильная четырехугольная пирамида имеют равные высоты. Чему равна сторона основания пирамиды, если площадь основания призмы равна S?
| Задача | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Ответ | б | а | б | а | б | в | в | в |
Домашняя работа: 1. Решить задачи №695в, №697, №690
2. Рассмотреть базовые задачи
Докажите, что если боковые ребра пирамиды равны (или составляют равные углы с плоскостью основания), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.
Докажите, что если двугранные углы при основании пирамиды равны (или равны высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
Источник
Геометрические фигуры. Усеченная пирамида.
Усеченной пирамидой является многогранник, заключенный меж основанием пирамиды и секущей плоскостью, которая параллельна ее основанию.
Или другими словами: усеченная пирамида — это такой многогранник, который образован пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Сечение, которое параллельно основанию пирамиды делит пирамиду на 2 части. Часть пирамиды меж ее основанием и сечением — это усеченная пирамида.
Это сечение для усеченной пирамиды оказывается 1-ним из оснований этой пирамиды.
Расстояние меж основаниями усеченной пирамиды является высотой усеченной пирамиды.
Усеченная пирамида будет правильной, когда пирамида, из которой она была получена, тоже была правильной.
Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды является апофемой правильной усеченной пирамиды.
Свойства усеченной пирамиды.
1. Каждая боковая грань правильной усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины.
2. Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками.
3. Боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную величину и один наклонен по отношению к основанию пирамиды.
4. Боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.
5. Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды имеют равную величину.
Формулы для усеченной пирамиды.
Для произвольной пирамиды:
Объем усеченной пирамиды равен 1/3 произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1 (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.
h — высота усеченной пирамиды.
Площадь боковой поверхности 
равняется сумме площадей боковых граней усеченной пирамиды.
Для правильной усеченной пирамиды:
Правильная усеченная пирамида — многогранник, который образован правильной пирамидой и ее сечением, которое параллельно основанию.
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна ½ произведения суммы периметров ее оснований и апофемы.
φ — двугранный угол у основания пирамиды.
CH является высотой усеченной пирамиды, P1 и P2 — периметрами оснований, S1 и S2 — площадями оснований, Sбок — площадью боковой поверхности, Sполн — площадью полной поверхности:
Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) разделяет высоту и боковые ребра пирамиды на пропорциональные отрезки.
Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) – это многоугольник, который подобен основанию пирамиды, при этом коэффициент подобия этих многоугольников соответствует отношению их расстояний от вершины пирамиды.
Площади сечений, которые параллельны основанию пирамиды, относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.
Источник
