Как вывести формулу радиуса вписанной окружности

Вписанная окружность — подробнее

Здесь мы будем говорить об окружностях, связанных с треугольником. Оставим пока в стороне страшное слово «вневписанная» и поговорим об окружности, вписанной в треугольник.

Итак, что же это такое?

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех(трёх) его сторон.

Для всякого ли треугольника можно подобрать такую окружность? И как найти ее центр?

На эти вопросы отвечает следующая теорема:

Во всякий треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

И повторим ещё раз то, что очень нужно запомнить:

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Если тебя заинтересовал вопрос о том, почему это все три биссектрисы обязаны пересечься, и какое отношение имеют биссектрисы к тому, что окружность касается сторон треугольника, то добро пожаловать к теме «Биссектриса».

Но для начала хватит просто запомнить то, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Теперь немножко о радиусе.

Радиус вписанной окружности

Посмотри, пусть у нас в \( \displaystyle \Delta ABC\) вписана окружность с центром \( \displaystyle O\).

Тогда отрезки \( \displaystyle OK\), \( \displaystyle OL\), и \( \displaystyle OM\) – радиусы этой окружности.

Поэтому они, конечно же, равны, но ещё – они все перпендикулярны сторонам. Это происходит оттого, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Итак, запомни и используй:

Радиусы вписанной окружности , проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника.

Вписанная окружность и отрезки сторон треугольника

Давай представим, что мы откуда-то узнали все три стороны треугольника.

Можно ли найти как-то отрезочки \( \displaystyle AK\), \( \displaystyle KC\), \( \displaystyle BL\) и.д. —отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника?

Представь себе, можно, и даже очень легко. Для этого нужно знать только то, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны (если ещё не успел это узнать – загляни в тему «Касательные, касающиеся окружности»).

Итак, начнём поиск!

Посмотри внимательно: из точки \( \displaystyle A\) проведено две касательных, значит их отрезки \( \displaystyle AK\) и \( \displaystyle AM\) равны.

Мы обозначим их «\( \displaystyle x\)».

Далее, точно так же:

\( \displaystyle BM=BL=y\) (обозначили).

\( \displaystyle CK=CL=z\) (обозначили).

Теперь вспомним-ка, что мы знаем длины всех трёх сторон треугольника. Обозначим эти длины «\( \displaystyle a\)», «\( \displaystyle b\)», «\( \displaystyle c\)» — смотри на рисунок. Что же теперь получилось?

А вот, например, отрезок «\( \displaystyle a\)» состоит из двух отрезков «\( \displaystyle y\)» и «\( \displaystyle z\)», да и отрезки «\( \displaystyle b\)» и «\( \displaystyle c\)» тоже из чего-то состоят. Запишем это всё сразу:

Ух ты! Выход в алгебру! Три уравнения и три неизвестных! Сейчас решим!

Сложим первые два уравнения и вычтем третье:

\( \displaystyle \left\< \beginy+z=a\\x+z=b\\x+y=c\end \right.\Rightarrow x+y+2z-\left( x+y \right)=a+b-c\), то есть:

А теперь сложим первое и третье уравнение и вычтем второе:

\( \displaystyle \left\< \beginy+z=a\\x+z=b\\x+y=c\end \right.\Rightarrow y+z+x+y-\left( x+z \right)=a+c-b\), то есть:

И последний шаг: сложим второе и третье, а потом вычтем первое.

Ну вот, всё нашли:

Очень много плюсов и минусов – аж в глазах рябит. Как же это запомнить? А оказывается, очень просто. Смотри-ка на картинку и формулу сразу.

Секрет вот в чём: те стороны, на которых есть «\( \displaystyle x\)» («\( \displaystyle b\)» и «\( \displaystyle c\)») будут с плюсом, а та сторона, где нет «\( \displaystyle x\)» (это «\( \displaystyle a\)»), будет с минусом.

Ну, а пополам поделить всё хозяйство. С другими буквами точно так же

На «\( \displaystyle a\)» и «\( \displaystyle c\)» есть «\( \displaystyle y\)» — они с плюсом, на «\( \displaystyle b\)» нет «\( \displaystyle y\)» — она с минусом

На «\( \displaystyle a\)» и «\( \displaystyle b\)» есть «\( \displaystyle z\)» — они с плюсом, на «\( \displaystyle c\)» нет «\( \displaystyle z\)» — она с минусом.

Вписанная окружность и площадь

Здесь скажем совсем коротко:

Есть такая формула:

\( \huge\displaystyle S=p\cdot r\),

где \( \displaystyle p\) — это полупериметр треугольника, то есть \( \displaystyle p=\frac<2>\), а \( \displaystyle r\) — радиус вписанной окружности.

Вневписанная окружность

Ну вот, пора приступать к самому непонятному. Что же это за зверь такой: «вневписанная окружность»? Сначала посмотри на картинку:

Видишь, окружность тоже чего-то касается, но «сидит» как-то снаружи, вне треугольника? Вот поэтому и называется вневписанной.

Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается ОДНОЙ стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

А как ты думаешь, сколько у одного треугольника может быть вневписанных окружностей? Вот, представь себе, аж три!

Посмотри, вот так:

Захватывает дух? Насладись впечатлением.

А еще подумай над тем…

• откуда взялся \( \displaystyle \Delta <_<1>><_<2>><_<3>>\);
• что это за точка \( \displaystyle O\);
• что это вообще за тьма линий на рисунке.

А сейчас вернёмся к одной какой-нибудь вневписанной окружности и узнаем всего один, но очень важный факт:

До дальней точки касания вневписанной окружности ровно полупериметр

или что то же самое: \( \displaystyle AK=AM=p\), где \( \displaystyle p\) — полупериметр.

Доказывать не будем, но ещё раз посмотри и запомни:

До «дальней» точки касания вневписанной окружности – ровно полупериметр треугольника.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете.

• У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись».
• Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
• Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы:

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Слово лучшему ученику — тебе! 🙂

Навыки работы с окружностями показывают, насколько ты хорош в планиметрии. Это действительно сложная тема.

А сегодня ты с ней разобрался. Ты большой молодец!

Мы будем очень рады узнать твое мнение об этой статье. Для нас оно очень важно.

Напиши внизу в комментариях, что думаешь об этой статье. Помогла ли она тебе?

Нравится ли тебе работать с окружностями? И стало ли это делать легче после прочтения этой статьи? 🙂

Остались вопросы? Задай их! Там же, в комментариях.

Мы обязательно ответим тебе!

Добавить комментарий Отменить ответ

Один комментарий

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Андрей
11 июля 2018
Прекрасное обьяснение, спасибо большое!

Александр (админ)
12 июля 2018
И тебе спасибо, Андрей. За теплые слова.

Юлия
09 сентября 2018
все просто и понятно, спасибо большое!

Александр (админ)
09 сентября 2018
И тебе спасибо, Юлия! Очень приятно слышать!

Миша
28 сентября 2018
не подскажите, почему отрезок о3б перпендикулярен отрезку о1о2?

Александр
21 августа 2019
Это биссектрисы смежных углов.

Денис
24 февраля 2019
Божественные рисунки!) Мне в школе для урока по геометрии надо подготовить несколько рисунков. Подскажите, пожалуйста, какой программой вы пользуетесь для построения рисунков?

Александр (админ)
07 марта 2019
Денис, прошу прощения, пост твой пропустил. Только сейчас отвечаю. Но врядли чем-то помогу. Рисунки делались так: сначала их от руки делала Елена Евгеньевна (наш математик), а потом профессиональный дизайнер Настя их перерисовывала. По-моему в фотошопе.

Источник

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

• Треугольник
• Выпуклый, правильный многоугольник
• Квадрат
• Равнобедренная трапеция
• Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

\[ S = \frac<1><2>(a+b+c) \cdot r = pr \]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

Примеры вписанной окружности

• Треугольник
  
• Четырехугольник
  
• Многоугольник
  

Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.

Верные и неверные утверждения

1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
   в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
   углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
   половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
    три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

Окружность вписанная в угол

Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.

Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.

К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

Источник