Площади четырехугольников
 Формулы для площадей четырехугольников |
| Вывод формул для площадей четырехугольников |
| Вывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника |
В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:
которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.
Формулы для площадей четырехугольников
| Четырехугольник | Рисунок | Формула площади | Обозначения | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Прямоугольник |  | S = ab | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Параллелограмм |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Квадрат |  | S = a 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | S = 4r 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ромб |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Трапеция |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | S = m h | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Дельтоид |  | S = ab sin φ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Произвольный выпуклый четырёхугольник |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный четырёхугольник |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Прямоугольник | ||
| ||
| ||
| ||
| Параллелограмм | ||
| ||
| ||
| ||
| Квадрат | ||
| S = a 2 где | |
| S = 4r 2 | |
| ||
| ||
| Ромб | ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| Трапеция | ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| Дельтоид | ||
| ||
| где | |
| ||
| ||
| Произвольный выпуклый четырёхугольник | ||
| ||
| Вписанный четырёхугольник | ||
| ||
| Прямоугольник |
|
где
a и b – смежные стороны
где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями
где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями
Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону
где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними
φ – любой из четырёх углов между ними
где
a – сторона квадрата
Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону
где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба
где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба
где
a и b – основания,
h – высота
φ – любой из четырёх углов между ними
где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними
где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .
где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности
φ – любой из четырёх углов между ними
где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр
Формулу называют «Формула Брахмагупты»
Вывод формул для площадей четырехугольников
Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле
Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:
что и требовалось доказать.
Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле
где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).
Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому
что и требовалось доказать.
Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле
где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).
то, в силу утверждения 2, справедлива формула
что и требовалось доказать.
Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле
,
где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).
что и требовалось доказать.
Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле
,
где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).
Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому
что и требовалось доказать.
Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле
где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
(рис.6).
Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):
,
что и требовалось доказать.
Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:
где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).
Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.
Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то
Источник
