Как вывести формулу куба разности двух выражений

Формулы куба суммы и куба разности

Куб разности и суммы чисел

Вычисление куба суммы и разности чисел необходимы во всех разделах математики. Они применяются при решении многих неравенств и уравнений, упрощении выражений, разложении многочленов, вычислении пределов, сокращении дробей, решении интегралов.

Поэтому необходимо уметь их выводить, понимать смысл и уметь применять на практике.

Правило для куба суммы

Возведем в куб сумму чисел a и b. Для этого распишем выражение в виде многочлена:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Воспользуемся формулой квадрата суммы и получим следующее выражение:

Теперь умножаем многочлен на многочлен и получаем:

Упростим получившиеся выражение и получим формулу куба суммы:

Куб суммы двух выражений равен сумме куба первого, утроенного произведения квадрата первого на второе, утроенного произведения первого на квадрат второго и куб третьего.

Правило для куба разности

При любых значениях b и c верно равенство:

Докажем его. Для этого разложим куб разности двух чисел на множители:

Теперь умножим многочлен на многочлен и упростим выражение:

Таким образом, выведенное тождество верно для любых значений переменных b, c и называется формулой куба разности \(\left(b-c\right)^3=b^3-3b^2c+3bc^2-c^3\)

Она читается так: куб разности двух выражений равен кубу первого, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго.

Куб разности трех чисел

Нередко при решении различных задач возникает необходимость вычислить куб разности трех чисел. Чтобы облегчить мыслительную работу можно вывести формулу и для этого случая:

Сложив подобные слагаемые придадим полученной формуле более удобный вид:

Она называется правилом куба разности трехчлена.

Аналогично можно вывести и формулу куба суммы трехчлена:

Примеры задач куба разности и суммы

Пример 1

Раскрыть скобки \(\left(2x-3y^2\right)^3\)

Решение

Пример 2

Решение

Если внимательно посмотреть на эту дробь, то можно увидеть, что в знаменателе представлен квадрат разности, а в числителе – куб разности.

Источник

Как использовать куб разности

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Вспомним, как выглядит формула куба разности.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Формула куб разности не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = (a − b) 3

Как возвести в куб разность

Рассмотрим пример. Необходимо возвести в куб многочлен, который содержит разность.

Используем формулу куба разности. Только вместо « a » у нас будет « 2y », а вместо « b » будет « x ».

Часто возводят многочлен в куб следующим образом:

Это неверно! Для возведения многочлена в куб необходимо использовать формулу сокращенного умножения: (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Применение куба разности для разложения многочлена на множители

Рассмотрим многочлен. Требуется разложить его на множители, используя формулу куба разности.

Обратите внимание, что многочлен « x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 » напоминает правую часть формулы « a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 », только вместо « a » стоит « x », а на месте « b » стоит « y ».

Используем для многочлена « x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 » формулу куба разности.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется разложить многочлен на множители.

В этом многочлене не так очевидно, что будет являться в формуле « a », а что « b ».

Представим многочлен « 8y 3 − 36y 2 + 54y − 27 » в виде « a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 ».

Обратим внимание, что « 8y 3 » — это « (2y) 3 », значит « a » в исходном многочлене — это « 2y ».

Чтобы понять, что является « b » в исходном многочлене, рассмотрим последний одночлен — « 27 ». Вспомним, что « 27 » — это « 3 3 », значит « b » в исходном многочлене — это « 3 ».

Рассмотрим одночлены посередине « 36y 2 » и « 54y ». При сравнении многочлена с кубом разности « a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 » можно понять, что эти одночлены должны быть « 3a 2 b » и « 3ab 2 соответсвенно.

Преобразуем одночлены « 36y 2 » и « 54y » в виде « 3a 2 b » и « 3ab 2 ». С учетом того, что ранее мы нашли, что в нашем многочлене « a » — это « 2y », а « b » — это « 3 ».

Внимательно проверяйте, правильно ли вы разложили числовые коэффициенты.

Проверим, верно ли мы разложили одночлены « 36y 2 » и « 54y ».

• 36y 2 = 3 · (2y) 2 · 3 = 3 · 4y 2 · 3 = 12y 2 · 3 = 36y 2 (верно)
• 54y = 3 · 2y · (3) 2 = 3 · 2y · 9 = 6y · 9 = 54y (верно)

После необходимых преобразований становится видно, что многочлен
« 8y 3 − 36y 2 + 54y − 27 » является правой частью формулы куба разности
« (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 ».

Используем формулу куба разности и решим пример до конца.

Источник

Куб суммы и разности двух выражений

Формула куба суммы

Возведем в куб сумму (a+b):

$$ = a(a^2+2ab+b^2 )+b(a^2+2ab+b^2 ) = a^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2+b^3 = $$

Мы получили формулу куба суммы двух выражений:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, плюс куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

Формула куба разности

Возведем в куб разность (a-b):

$$ = a(a^2-2ab+b^2 )-b(a^2-2ab+b^2 ) = a^3-2a^2 b+ab^2-a^2 b+2ab^2-b^3 = $$

Мы получили формулу куба разности двух выражений:

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, минус куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

Не забывайте о втором и третьем слагаемом в формулах куба двучленов!

Не путайте знаки «+» и «-» перед слагаемыми!

Примеры

Пример 1. Представьте в виде многочлена

а) $ (x+5)^3 = x^3+3\cdot x^2\cdot5+3\cdot x\cdot5^2+5^3 = x^3+15x^2+75x+125$

б) $ (9-z)^3 = 9^3-3\cdot9^2\cdot z+3\cdot9\cdot z^2-z^3 = 729-243+27z^2-z^3 $

в) $(5b-3c)^3 = (5b)^3-3\cdot(5b)^2\cdot3c+3\cdot5b\cdot(3c)^2-(3c)^3 =$

г) $(2mk+1)^3 = (2mk)^3+3\cdot(2mk)^2\cdot1+3\cdot2mk\cdot1^2+1^3 =$

$ = 8m^3 k^3+12m^2 k^2+6mk+1 $

Пример 2. Упростите выражение:

а) $(a+2)^3-(a-2)^3 = a^3+3a^2\cdot2+3a\cdot2^2+2^3-(a^3-3a^2\cdot2+3a\cdot2^2-2^3 )= $

б) $(x-3y)^3+9xy(x-3y) = x^3-3x^2\cdot3y+3x\cdot(3y)^2-27y^3+9x^2 y-27xy^2 =$

в) $(x+y)^3-x(x-y)^2 = x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x(x^2-2xy+y^2 ) =$

$= x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x^3+2x^2 y-xy^2 = -x^2 y+2xy^2+y^3$

г) $3m(k+3m)^2-(k+3m)^3 = 3m(k^2+6km+9m^2 )-$

$-(k^3+3k^2\cdot3m+3k\cdot(3m)^2+(3m)^3 ) = 3k^2 m+18km^2+27m^3- $

$-k^3-9k^2 m-27km^2-27m^3 = -6k^2 m-9km^2-k^3 $

Пример 3. Найдите значение выражения:

a) $a^3-b^3-3ab(a-b)$ при a = -7 и b = -17

$a^3-b^3-3ab(a-b) = a^3-b^3-3a^2 b+3ab^2 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 =$

Подставляем: $(-7-(-17) )^3 = 10^3 = 1000$

б) $3ab(a+b)+a^3+b^3$ при a = -3 и b = 13

$ 3ab(a+b)+a^3+b^3 = 3a^2 b+3ab^2+a^3+b^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 = $

Подставляем: $(-3+13)^3 = 10^3 = 1000$

Пример 4. Решите уравнение:

а) $(3x+1)^3 = 27x^2 (x+1)$

б) $(1-4x)^3+48x^2 (1 \frac<1> <3>x-1) = 0$

$1-3\cdot4x+3\cdot(4x)^2-(4x)^3+48\cdot \frac<4> <3>x^3-48x^2 = 0 $

Пример 5*. Дайте геометрическое объяснение формуле куба суммы (аналогично квадрату суммы – см. §21 данного справочника, но для кубов в пространстве).

Рассмотрим куб со стороной (a+b) и вписанный в один из его углов куб со стороной b.

Объемы кубов $V_ = (a+b)^3,V_b = b^3$ Объем прямоугольного параллелепипеда, закрашенного оранжевым цветом: $V_ <ор>= a(a+b)^2$

Объем прямоугольного параллелепипеда, закрашенного синим: $V_ <син>= b(a+b)^2$

Источник

Куб разности

Куб разности двух выражений равен кубу первого, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго.

Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство «читается» как слева направо, так и справа налево, то верно и обратное равенство. Для проверки данной формулы умножим двучлен $a-b$ на $(a-b)^<2>$: $(a-b)^<3>=(a-b)(a-b)^<2>=(a-b)\left(a^<2>-2 a b+b^<2>\right)=$

$=a^<3>-2 a^ <2>b+a b^<2>-b a^<2>+2 a b^<2>-b^<3>=a^<3>-3 a^ <2>b+3 a b^<2>-b^<3>$. Выражение $(a-b)^<2>$ было заменено эквивалентным выражением по формуле «квадрат разности».

Задание. Раскрыть скобки $(2 x y-1)^<3>$

Решение. Решение проведем в два этапа, первый — возведем в куб по определению, то есть умножим выражение $2 x y-1$ два раза на себя; второй — используя формулу сокращенного умножения «куб разности».

1. По определению:

$(2 x y-1)^<3>=(2 x y-1)(2 x y-1)^<2>=(2 x y-1)\left(4 x^ <2>y^<2>-4 x y+1\right)=$

$=8 x^ <3>y^<3>-8 x^ <2>y^<2>+2 x y-4 x^ <2>y^<2>+4 x y-1=8 x^ <3>y^<3>-12 x^ <2>y^<2>+6 x y-1$

2. Используя формулу сокращенного умножения:

$(2 x y-1)^<3>=(2 x y)^<3>-3 \cdot(2 x y)^ <2>\cdot 1+3 \cdot 2 x y \cdot 1^<2>-1^<3>=8 x^ <3>y^<3>-12 x^ <2>y^<2>+6 x y-1$

Как видно, использование формулы сокращенного умножения упростило решение на несколько шагов и скоратило вероятность ошибки.

Источник

Куб разности: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения для разложения на множители куба разности. Также подробно разберем пример решения задачи для закрепления материала.

Формула куба разности

Куб разности a и b равняется кубу a минус утроенное произведение квадрата a на b плюс утроенное произведение квадрата b на a минус куб b .

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

Формула работает в обратную сторону:

a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 = (a – b) 3

Доказательство формулы

Представим куб разности в виде произведения:
(a – b) 3 = (a – b)(a – b)(a – b) .

Теперь поочередно выполняем перемножение скобок с учетом арифметических правил:
(a – b)(a – b)(a – b) = (a – b)(a – b) 2 = (a – b)(a 2 – 2ab + b 2 ) = a 3 – 2a 2 b + ab 2 – a 2 b + 2ab 2 – b 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 .

Примечание: при раскрытии скобок использовалась формула квадрата разности:
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 .

Пример

Разложите выражение (4x – 6y) 3 на множители.

Решение:
Воспользуемся общей формулой, подставив в нее наши значения:
(4x – 6y) 3 = (4x) 3 – 3 ⋅ (4x) 2 ⋅ 6y + 3 ⋅ 4x ⋅ (6y) 2 – (6y) 3 = 64x 3 – 288x 2 y + 432xy 2 + 216y 3

Проверка:
Давайте перемножим три одинаковые скобки:
(4x – 6y) 3 = (4x – 6y)(4x – 6y)(4x – 6y) = (4x – 6y)(4x – 6y) 2 = (4x – 6y)(16x 2 – 48xy + 36y 2 ) = 64x 3 – 192x 2 y + 144xy 2 – 96x 2 y + 288xy 2 + 216y 3 = 64x 3 – 288x 2 y + 432xy 2 + 216y 3

Источник