Число под корнем как вывести

Как вынести из-под корня

Вынесение множителя из-под знака корня — это извлечение корня из одного из множителей (числа или буквы), которые находятся под корнем.

Говорят: «Число « 25 » вынесли из-под знака корня».

Рассмотрим подробнее пример вынесения множителя из-под знака корня.

№ 15 .1 (в) Мордкович 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

Извлечь квадратный корень из « √ 5 » целым числом не получится, поэтому нам остается только извлечь квадратный корень из « √ 16 ».

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от « 1 » до « 15 » и таблицу часто используемых квадратных корней.

Вспомним, чему равен квадрат числа четыре?

Решение примера выше записываем следующим образом.

√ 16 · 5 = √ 16 · √ 5 = 4 · √ 5

Действие выше называют вынесением множителя из-под знака корня. Говорят: «Число « 16 » вынесли из-под знака корня, получив число « 4 ».

Выносить из-под знака корня можно, только если все действия под знаком корня — умножение .

Примеры правильного и неправильного вынесения из-под знака корня:

• √ 144 · 2 = √ 144 · √ 2 = 12 √ 2 (верно) . Под знаком квадратного корня только действие умножения;
• √ 16 + 5 ≠ 4 + √ 5 (неверно) . Нельзя выносить « 16 » из-под знака корня, так как под знаком корня сложение ;
• √ 25 − 3 ≠ 5 − √ 3 (неверно) . Нельзя выносить из-под знака корня « 25 », так как под знаком корня вычитание ;
• √ 16 ·2 + 3 ≠ 4 √ 2 + 3 (неверно) . Нельзя выносить « 16 » из-под знака корня, так как под знаком корня есть сложение (должно быть только умножение ).

Как вынести множитель из корня с одним числом

Рассмотрим пример, когда под корнем только одно число и по условию задания требуется вынести множитель из-под знака корня.

№ 524 (1) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

Извлечь целое число из квадратного корня « √ 8 » нельзя, так как нет такого целого числа, которое в квадрате давало бы « 8 ».

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от « 1 » до « 15 » и таблицу часто используемых квадратных корней.

Подумаем, на какие множители можно разложить число « 8 », чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака корня. Вспоминаем таблицу умножения.

Число « 8 » — это произведение
« 8 = 4 · 2 ». Теперь можем вынести « 4 » из-под знака корня.

√ 8 = √ 4 · 2 = √ 4 · √ 2 = 2 √ 2

Разберем другие примеры вынесения множителя из-под знака квадратного корня

№ 524 (4) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

Зададим себе вопрос: «На какие множители нужно разложить « 54 », чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака квадратного корня?».

Видим число « 9 ». Подходит, так как « √ 9 = 3 ».

Завершим решение примера вынесением из-под знака корня числа « 9 ».

√ 54 = √ 9 · 6 = 3 √ 6

Извлечь « √ 6 » целым числом невозможно. Поэтому ответ оставляем в таком виде.

№ 524 (5) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

В примерах с числами, которые делятся на « 10, 100, 1000… » и так далее, стоит сразу попробовать разложить число на « 10, 100, 1000… » и второй множитель.

То есть число « 490 » можно разложить на « 490 = 49 · 10 ». Из « 49 » можно извлечь квадратный корень.

Теперь можно вынести « 49 » из-под знака корня.

√ 490 = √ 49 · 10 = 7 √ 10

№ 524 (6) Мерзляк 8 класс

№ 524 (8) Мерзляк 8 класс

√ 108 = √ 54 · 2 = √ 9 · 6 · 2 =

= 3 √ 6 · 2 = 3 √ 12 = 3 √ 4 · 3 =

№ 526 (6) Мерзляк 8 класс

0,4 · √ 250 = 0,4 · √ 25 · 10 =

Завершим пример, умножив десятичную дробь « 0,4 » на « 5 » по правилу умножения десятичной дроби на число.

0,4 · √ 250 = 0,4 · √ 25 · 10 =

= 0,4 · 5 √ 10 = 2 √ 10

№ 526 (8) Мерзляк 8 класс

4

9

· √ 63 =

4

9

· √ 9 · 7 =

4

9

· 3 √ 7 = …
Умножим дробь «

4

9

» на число « 3 », которое вынесли из-под знака квадратного корня. Используем правило умножения обыкновенной дроби на число.

4

9

· √ 63 =

4

9

· √ 9 · 7 =

4

9

· 3 √ 7 =

=

4 · 3

9

· √ 7 =

4 · 3

9 3

· √ 7 =

=

4

3

· √ 7 = …

Чтобы дать окончательный ответ, выделим целую часть неправильной дроби «

4

3

».

4

9

· √ 63 =

4

9

· √ 9 · 7 =

4

9

· 3 √ 7 =

=

4 · 3

9

· √ 7 =

4 · 3

9 3

· √ 7 =

4

3

· √ 7 =

= 1

1

3

· √ 7

Как вынести десятичную дробь из-под знака корня

В уроке «Как извлечь квадратный корень из дроби» мы разбирали, каким образом извлечь квадратный корень из десятичной дроби. Например, извлечение квадратного корня из десятичной дроби « √ 0,25 ».

√ 0,25 = 0,5 , так как
0,5 2 = 0,5 · 0,5 = 0,25

Тот же самый метод используется при вынесении десятичной дроби из-под знака корня.

№ 524 (10) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

Разложим десятичную дробь на произведение множителей, чтобы потом была возможность вынести один из множителей из-под знака корня.

Подберем десятичную дробь, на которую делится « 0,48 », из которой потом можно извлечь квадратный корень.

Например, « 0,16 ». Десятичная дробь « 0,48 » делится на « 0,16 » нацело.

Извлечь квадратный корень из « √ 0,16 » по правилу нахождения квадратного корня из десятичной дроби.

Завершим пример вынесением « 0,16 » из-под знака корня.

Примеры вынесения десятичной дроби из-под знака квадратного корня

№ 524 (9) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

№ 526 (7) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

−2 · √ 0,18 = −2 · √ 0,09 · 2 =

= −2 · 0,3 √ 2 = −0,6 √ 2

Как вынести букву из-под знака корня

При вынесении из-под знака квадратного корня множителя в степени (буквы или числа) степень делится на « 2 ».

• √ a 2 = a
  

  2

  2

  = a 1 = a , гдe a ≥ 0

• √ y 4 = y
  

  4

  2

  = y 2 , гдe y ≥ 0

• √ 12 4 = 12
  

  4

  2

  = 12 2 = 144

• √ x 6 = x
  

  6

  2

  = x 3 , гдe x ≥ 0

Рассмотрим примеры вынесения буквы в степени из-под корня.

№ 347 (2, 4) Колягин (Алимов) 8 класс

Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).

2) √ 2x 2 = x

2

2

√ 2 = x √ 2

4) √ 3a 6 = a

6

2

√ 3 = a 3 √ 3

В более сложных примерах требуется вынести и числовой множитель, и букву в степени из-под корня.

№ 348 (2) Колягин (Алимов) 8 класс

Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).

Вначале отдельно вынесем буквенный множитель из-под корня.

√ 75a 2 = a

2

2

· √ 75 = a √ 75 = …

Теперь разложим число « 75 » на множители, один из которых можно вынести из-под знака квадратного корня.

Число « 75 » явно делится на « 5 ». Проверим, можно ли число « 75 » разложить на квадрат числа « 5 2 = 25 ».

Завершим пример, вынеся число « 25 » из-под знака корня.

√ 75a 2 = a

2

2

· √ 75 = a √ 75 =

= a √ 25 · 3 = 5a √ 3

№ 549 (2) Мерзляк 8 класс

Не всегда удается сразу вынести букву в степени из-под знака корня. В данном примере степень « 9 » не делится нацело на « 2 ».

Вспомним из урока «Свойства степени» правило произведение степеней с одинаковым основанием.

Свойство работает и в обратную сторону.

Вернемся к нашему примеру. Разложим « y 9 » на множители со степенями так, чтобы одна из степеней нацело делилась на « 2 ». Представим степень « 9 » как сумму чисел « 9 = 6 + 3 ».

Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием в обратную сторону и разложим « у » на множители.

Источник

Вычисление квадратного корня из числа: как вычислить вручную

При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.

К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.

Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов

Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы. Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?

При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.

Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.

Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.

Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.

Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.

Разложение на простые множители

Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители. Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.

Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.

Метод Герона

Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона. Его суть заключается в использовании приближённой формулы:

где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.

Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:

√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.

Теперь проверим точность метода:

Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:

√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Проверим точность расчёта:

После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.

Вычисление корня делением в столбик

Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора.

Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.

1. Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
2. Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
3. Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
4. Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
5. Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
6. Повторим шаги 3—6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
7. Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.

В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.

Поразрядное вычисление значения квадратного корня

Метод обладает высокой точностью. Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.

Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.

Источник